Вычислите cos(7°) с точностью до четырёх знаков после запятой.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, что $7^\circ$ — не табличный угол. Это не $0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$ или их отражения, поэтому простого точного выражения нет — потребуется численное приближение.

2. 2

   Переводим угол в радианы, так как ряд Тейлора и большинство программ работают с радианами. Умножаем на $\tfrac{\pi}{180}$:

   $7^\circ=7\cdot\frac{\pi}{180}\approx 0.1221730\ \text{рад}$

3. 3

   Оцениваем ожидаемое значение до вычислений. Так как $7^\circ$ близко к $0^\circ$, а $\cos 0=1$, результат должен быть чуть меньше $1$. На промежутке $[0^\circ,90^\circ]$ косинус убывает, значит $\cos 7^\circ<\cos 0^\circ=1$.

4. 4

   Оцениваем по ряду Маклорена. Подставляем $x=0.1221730$:

   $\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}=1-0.0074631+0.0000093=0.9925462$

   Трёх членов достаточно для четырёх знаков, так как $x$ мало.

5. 5

   Округляем и сверяем. До четырёх знаков после запятой

   $\cos(7^\circ)\approx 0.9925$

   Прямой подсчёт даёт $0.99254615$, что совпадает с оценкой по ряду до семи знаков $\checkmark$.