Определите, является ли функция y = sin x / x и функция y = cos x / x чётной, нечётной или ни той, ни другой.

Step-by-step solution

1. 1

   Сформулируем критерий. Функция называется чётной, если $f(-x)=f(x)$, и нечётной, если $f(-x)=-f(x)$ для любого $x$ из области определения. В обоих случаях область определения — $x\neq 0$, она симметрична относительно начала координат, поэтому критерий применим.

2. 2

   Вспомним чётность составляющих.

   $\sin(-x)=-\sin x\ (\text{нечётная}),\qquad \cos(-x)=\cos x\ (\text{чётная}),\qquad (-x)=-x\ (\text{нечётная}).$

3. 3

   Проверим первую функцию.

   $f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f(x),$

   значит, $\dfrac{\sin x}{x}$ — чётная функция. Два минуса сокращаются — нечётная, делённая на нечётную, даёт чётную.

4. 4

   Проверим вторую функцию.

   $g(-x)=\frac{\cos(-x)}{-x}=\frac{\cos x}{-x}=-\frac{\cos x}{x}=-g(x),$

   значит, $\dfrac{\cos x}{x}$ — нечётная функция. Здесь меняет знак только знаменатель — чётная, делённая на нечётную, даёт нечётную.

5. 5

   Проверим численно. При $x=\pm 2$: $\dfrac{\sin 2}{2}=0.454649$ и $\dfrac{\sin(-2)}{-2}=0.454649$, значения совпадают, как и должно быть для чётной функции. А вот $\dfrac{\cos 2}{2}=-0.208073$, а $\dfrac{\cos(-2)}{-2}=+0.208073$ — противоположные значения, как и требуется для нечётной функции.

6. 6

   Обобщим правило чётности для дробей. Для частных: чётная/чётная = чётная, нечётная/нечётная = чётная, чётная/нечётная = нечётная, нечётная/чётная = нечётная. Это полностью аналогично умножению знаков, поэтому правило легко восстановить по аналогии, не запоминая.