У треугольника стороны 65, 65 и 10,75, углы не известны. Найдите все три угла.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор подходящего метода для случая SSS. Когда известны только три стороны, а ни один угол не дан, теорема синусов неприменима — она всегда требует хотя бы одну пару «сторона — противолежащий угол». Поэтому начать можно только с теоремы косинусов:

   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\;\Longrightarrow\;\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

2. 2

   Использование равнобедренности. Две стороны равны ($65=65$), значит, и углы, лежащие напротив них, тоже равны. Поэтому достаточно вычислить по теореме косинусов угол $C$, противолежащий отличающейся стороне $10.75$ — это определит все остальные углы.

3. 3

   Подставим значения.

   $\cos C=\frac{65^2+65^2-10.75^2}{2(65)(65)}=\frac{4225+4225-115.5625}{8450}=\frac{8334.4375}{8450}=0.98632396$

4. 4

   Вычислим угол через арккосинус.

   $C=\cos^{-1}(0.98632396)=9.4867^{\circ}$

   Значение косинуса так близко к $1$, потому что треугольник очень «узкий» — именно такую форму задают стороны $65,65,10.75$.

5. 5

   Найдём два равных основания угла через сумму углов треугольника.

   $A=B=\frac{180^{\circ}-9.4867^{\circ}}{2}=85.2567^{\circ}$

6. 6

   Проверим результат через площадь. По формуле Герона при $s=70.375$ получаем площадь $=348.178$. Та же площадь выходит через $\tfrac12 ab\sin C=\tfrac12(65)(65)\sin(9.4867^{\circ})=348.178$ ✓, а сумма углов $9.4867+85.2567+85.2567=180.0001^{\circ}$ (с учётом округления).