Верно ли, что tan(π) = 0? Объясните ответ.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём угол в градусы. Так как $\pi$ радиан $=180^{\circ}$, вопрос сводится к нахождению тангенса полукруга — это точка $(-1,0)$ на единичной окружности, то есть отрицательная часть оси $x$.

2. 2

   Используем основное тождество для тангенса. По определению,

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},$

   значит, значение $\tan\pi$ полностью определяется координатами этой точки: $\sin\pi$ — это $y$-координата, а $\cos\pi$ — $x$-координата.

3. 3

   Определим значения синуса и косинуса. При $\theta=\pi$:

   $\sin(\pi)=0,\qquad \cos(\pi)=-1.$

   Синус равен нулю, потому что точка лежит на горизонтальной оси; косинус равен $-1$, так как точка находится на единицу влево от начала координат.

4. 4

   Выполним деление и убедимся, что знаменатель не равен нулю. Подставляя значения,

   $\tan(\pi)=\frac{0}{-1}=0.$

   Утверждение верно. Отрицательный знаменатель не влияет на знак — ноль, делённый на любое ненулевое число, остаётся нулём, без всякого знака.

5. 5

   Сравним с ситуацией, когда тангенс не определён. Тангенс не существует там, где $\cos\theta=0$, то есть при $\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$; тогда в числителе — ненулевое число, а в знаменателе — ноль. Нули тангенса там, где $\sin\theta=0$, то есть при $\theta=k\pi$ — поэтому $\tan0=\tan\pi=\tan2\pi=0$, и период у $\tan$ равен $\pi$, а не $2\pi$.