Trigonometry
拖放或 點擊 以新增圖片
Real trigonometry questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
解是 x = 5π/4 + 2πn 與 x = 7π/4 + 2πn。正弦為負會把角放進第三、第四象限，兩者的參考角都是 π/4。
參考角是 π/3，而正弦在第一、第二象限為正，所以解是 x = π/3 + 2πn 與 x = 2π/3 + 2πn，其中 n 為任意整數。
兩個角約為 143.13° 與 216.87°（2.498 與 3.785 弧度）。先取 arccos(0.8) 當參考角，再把它放到餘弦為負的第二、第三象限。
三個角約為 9.49 度、85.26 度與 85.26 度。已知三邊而沒有任何角時，唯一的入口是餘弦定理。
弧長是 5π/2 = 7.854 cm，面積是 45π/4 = 35.343 cm²。先把 50 度換成 5π/18 弧度，再套 s = rθ 與 A = (1/2)r²θ。
弧長是 14π/3 = 14.661 yd，面積是 28π = 87.965 yd²。用 s = rθ 與 A = (1/2)r²θ 之前，要先把 70 度換成 7π/18 弧度。
兩者都等於 2π/3 = 2.094。r = 2 時因子 (1/2)r² 剛好等於 r，所以弧長（ft）與面積（ft²）數值相同 — 這只是 r = 2 的巧合。
弧長是 2π/3 = 2.094 m，面積是 4π/3 = 4.189 m²。角減半、半徑加倍會讓弧長不變，但扇形面積會變成兩倍。
把 120 度換成 2π/3 弧度，再用 s = rθ = 3 × 2π/3 = 2π = 6.283 m — 恰好是圓周長的三分之一。
x > 0 時和為 π/2，x < 0 時為 −π/2，x = 0 時無定義。兩個角都帶著 x 的正負號，所以值是 (π/2)·sgn(x)，永遠不會是 0。
偶函數：−7x² + 1、cos(−x) 與 tan x / x。奇函數：sin x / cos x 與 csc x。兩者皆非：4x³ − 3x² + 5，因為它同時含有奇次項與偶次項。
高度是 1.75√3 = 3.03 km，低於用來比較的 4.5 km。方法與 600 km/h 那一題相同，但時間較短，結論就反了過來。
飛機 Q 爬升到 3.71231 km，低於飛機 P 的 5 km，所以答案是「較低」。鉛直速度是 450 sin 45° = 318.198 km/h，而 0.7 分鐘是 0.0116667 小時。
飛機 A 爬升到 5 km，低於飛機 B 的 7 km，所以答案是「較低」。鉛直速度是 500 sin 30° = 250 km/h，而 1.2 分鐘是 0.02 小時。
高度是 9√3 = 15.59 km，高於用來比較的 10 km。只有鉛直分量 v sin 60° 算數，而且 1.8 分鐘必須先換成 0.03 小時。
E 機爬升到 7.7 km，低於 F 機的 8 km，所以答案是「比較低」。垂直速度為 440 sin 30° = 220 km/h，而 2.1 分鐘等於 0.035 小時。
答案是 [−5π/6, 5π/6]。不等式化簡成 cos x ≥ −√3/2，而在以 0 為中心的一個完整週期上，解集就是區間正中間那一段帶狀範圍。
兩城市同在一條子午線上，緯度為北緯 45 度 9 分與 35 度 5 分，地球半徑取 3960 英里。緯度差 10 度 4 分換成弧度後套 s = rθ，得約 695.8 英里，約 696 英里。
arccos(0.33) = 1.234493 弧度 = 70.7312 度。因為 0.33 不是特殊角的餘弦值，精確答案只能停在 arccos(0.33)，後面再附上十進位近似值。
答案約為 41.41 度，換成弧度是 0.7227。輸入值不是特殊角，所以非用計算機不可，而且角度模式一定要先設對。
arccos(1/√3) 約為 0.9553 弧度，也就是 54.7356 度。0.57735 不是特殊角的餘弦值，所以這個角寫不成 π 的封閉形式。
答案是 π/4，正號。√2/2 就是 45 度的餘弦值，而反餘弦的值域從 0 到 π，逼得答案只能落在第一象限。
arcsin(0.375) = arcsin(3/8) ≈ 0.384397 弧度 ≈ 22.0243 度。只有正弦值為 0、±1/2、±√2/2、±√3/2、±1 的角才有封閉形式，3/8 不在其中。
arcsin(0.395) ≈ 0.406068 弧度 ≈ 23.2660 度。0.395 = 79/200 不是特殊角的正弦值，所以精確答案只能停在反正弦的形式。
答案是 π/3，也就是 60 度。雖然 sin(2π/3) 同樣是 √3/2，但 arcsin 只會傳回 [−π/2, π/2] 內的值，所以 2π/3 不是答案。
答案約為 0.002999991 弧度，也就是 0.1719 度。輸入值極小時 arctan(x) 幾乎就等於 x，這裡要到小數第八位才看得出差別。
答案約為 12.68 度，換成弧度是 0.2213。先把比值化簡成 0.2250，再取反正切——比值小，角度就小。
值約為 0.75666 弧度，也就是 43.35 度。分數約分後是 929/984，不是特殊角的正切值，所以沒有精確角可寫。
值約為 0.46365 弧度，也就是 26.565 度。它是正切值等於 1/2 的角，不是特殊角，所以沒有精確的封閉形式。
精確值是 −√2/2，約等於 −0.7071。這個角落在第三象限，餘弦在那裡為負，而它的參考角是 45 度。
答案是 −1/2。因為 240 = 180 + 60，角落在第三象限，餘弦在那裡為負，所以 cos 240 等於負的 cos 60，也就是 −1/2。
答案是 −1/8。三個角每次加倍，所以恆等式 cos x·cos 2x·cos 4x = sin 8x 除以 8 sin x 一步就把整個乘積收掉。
值約為 0.9925。把 7 度換成 0.12217 弧度，再用級數 1 − x²/2 + x⁴/24，會得到同樣的小數點後四位。
答案約為 0.99006。因為 3 略小於 π，所以 sin 3 弧度等於 0.14112，而這麼小的數再取餘弦，值非常接近 1。
答案約為 0.3420。20 度不是可作圖的特殊角，用一般根式寫不出精確形式，所以確實需要計算機。
答案是 −√2/2，約等於 −0.7071。225 度落在第三象限，正弦在那裡為負，而它的參考角剛好是乾淨的 45 度。
答案是 −1。因為 315 = 360 − 45，角落在第四象限，正切在那裡為負，所以 tan 315 等於負的 tan 45，也就是 −1。
精確值是 √(5 − 2√5)，約 0.72654。正切的週期是 π，所以 4.2π 化簡成 0.2π = π/5，也就是 36 度角。
值約為 0.1228。7 度換成弧度是 0.12217，而小角度時 tan x 很接近 x，所以答案只比弧度值多出一點點。
值約為 0.8794。因為 cos 20 度是 0.9396926，乘以 2 得到 1.8793852，再減 1 剩下 0.8793852，四捨五入就是 0.8794。
答案是 5π/6，不是 −π/6。arccos 的值域是 [0, π]，所以負的輸入會落在第二象限，也就是 π 減去參考角 π/6。
答案是 ±√((7√145 − 79)/18)，約 ±0.5422。令 u = sin²x 可化成二次方程式，而只有正根才可能是某個數的平方。
答案：sin 2x = ±2√2/3。平方後得 6u² + u − 1 = 0，其中 u = sin²x = 1/3；cos x = √6/3 被逼成正的，sin x 則兩個正負號都保留。
三角形 ABC 中 (cos B + cos A cos C)/(sin B cos C) = a√3/b，且 a=3、c=2√3，求 sin A。用 A+B+C=π 化簡分子成 sin A sin C，配正弦定理得 tan C=√3、C=60 度，再算出 sin A = 3/4。
sin A = 3/4。把 B 換成 π − A − C 後，分子變成 sin A sin C，整個比式收成 tan C = √3，最後用正弦定理收尾。
答案約為 41.30 度，也就是 0.7208 弧度。正弦值從 0.67 掉了百分之一，角度就移動了大約四分之三度。
答案約為 42.07 度，也就是 0.7342 弧度。因為 0.67 只比 sin 45 度的 0.7071 小一點，角度也一定落在 45 度略下方。
答案約為 53.13 度，也就是 0.9273 弧度。這正是 3-4-5 直角三角形裡的那個角，因為 sin θ = 4/5 = 0.8 剛好精確，很好用來檢查。
由 s = rθ 得 θ = s/r = 3/5 = 0.600 弧度，約 34.38 度。單位互相消掉，這正是弧度沒有因次的原因。
把 A = (1/2)r²θ 移項得 θ = 2A/r² = 6/25 = 0.240 弧度，約等於 13.75 度。
由 s = rθ 得 r = s/θ = 2 ÷ (1/3) = 6 英尺。除以一個分數，就是乘上它的倒數。
把 A = (1/2)r²θ 移項成 r = √(2A/θ)。代入 A = 2、θ = 1/3 得 r² = 12，所以 r = 2√3 = 3.464 英尺。
飛機沿與水平夾 30 度的直線以 500 km/h 爬升，1.2 分鐘後高度為多少？把速度分解得垂直分量 250 km/h，時間換成 0.02 小時，爬升 5 公里，仍低於另一架的 7 公里。
答案：對。餘弦是單位圓上的 x 座標，而 180 度落在 (−1, 0)，所以 cos 180° 恰好等於 −1，不是近似值。
對。因為 7π/6 = π + π/6 落在第三象限，sin(7π/6) = −1/2，而餘割是正弦的倒數，所以 csc(7π/6) = 1/(−1/2) = −2，剛好精確。
sin x / x 是偶函數，cos x / x 是奇函數。奇函數除以奇函數 x 會得到偶函數，而偶函數除以 x 則得到奇函數。
答案：對。因為 tan = sin/cos，而 sin π = 0、cos π = −1，商就是 0/(−1) = 0。分子為零、分母不為零，結果就是零。
梯子頂端靠在牆上離地 24 呎、底端離牆 7 呎，求梯長與它與地面的夾角。畢氏定理得 25 呎（7-24-25 畢氏三數），tanθ=24/7 得 θ≈73.74 度，再用 sin、cos 交叉驗算。
有兩個三角形符合：a = 75√3 + 15√39 = 223.58，或 a = 75√3 − 15√39 = 36.23。未知邊同時以平方項與一次項出現，形成二次方程式。
A 約 69.6 度，x 約 24.03。sin A = 23 sin 32° / 13 = 0.9375；題目說看起來是銳角就可當作銳角，因此排除了鈍角解 110.4 度。
週期是 2π/3。只有 x 的係數有影響，所以用 2π 除以 3——振幅 2 和相位平移 −2π 都不會動到週期。
週期是 2π。餘割是正弦的倒數，所以完全繼承正弦 2π 的週期，而係數 3 對週期毫無影響。
兩邊都化成 tan²A + cos²A。左邊直接得到 tan²A + cos²A；右邊變成 sec²A − sin²A，再用 sec²A = 1 + tan²A 與 1 − sin²A = cos²A 補上落差。
參考角是終邊與 x 軸所夾的銳角。依象限規則求出 210° → 30°、135° → 45°、5π/3 → π/3、5π/4 → π/4，並用正弦值只差正負號來驗證。
x > 0 時等於 π/2 − arctan x；x < 0 時等於 −π/2 − arctan x。x 的正負決定那個常數，因為主值範圍只有 π 這麼寬。
先把 120 度換成 2π/3 弧度，再算 A = (1/2)(9)(2π/3) = 3π = 9.425 平方公尺——恰好是整個圓面積的三分之一。
答案是 cos(2x) + 5。餘函數平移 sin(θ + π/2) = cos θ 在 θ = 2x 時適用，而外面加的 5 只是把中線抬高。
答案：sin(9x)tan(12x)。除以 cot(12x) = cos(12x)/sin(12x) 就是乘上它的倒數 sin(12x)/cos(12x)，而那個比值正是 tan(12x)。
答案：sin²A/cos A − 1。把 cot A 寫成 cos A/sin A，第一個商就變成類似正切的比值，而 csc A 乘 sin A 直接塌成 1。
先把畢氏恆等式的那一對湊在一起：sin² + cos² = 1，剩下 1 + tan²，這正好就是 sec²θ 的恆等式。
這個式子等於 √(1 − sin²α cos²β) 除以 |cos α|。把 tan α 寫成 sin α / cos α，先讓全部東西通分到 cos²α 上，再開根號。
把坡長設成 1，再消去兩次觀測之間的水平距離。用 tan 15° = 2 − √3 可得 tan θ = (6 + 9√3)/23，約 0.9386（θ ≈ 43.2 度）。
解是 7π/24、23π/24、31π/24 與 47π/24。把整個括號代換成 t，區間會撐成 [π/4, 17π/4)，裡面剛好容得下四個解。
答案是 x = π/6 + 2πk 或 x = 5π/6 + 2πk，k 為任意整數。正弦每轉一圈會等於 1/2 兩次，所以只寫 π/6 只有一半的解。
有兩族解：對每個 x 都成立的 y = π，以及 sin(x + y/2) = 2 sin(y/2)，後者需要 |sin(y/2)| ≤ 1/2。約掉 cos(y/2) 時最容易漏掉 y = π 這一支。
答案是 x = 6 + 2arcsin(2/3) + 4πk 與 x = 6 + 2π − 2arcsin(2/3) + 4πk。先把正弦孤立，再用正弦通解的兩個分支。
通解是 x = −π/6 + πk。孤立之後得 tan x = −√3/3，這個正切值的參考角是 π/6，而正切每 π 就重複一次。
答案：x = ±π/6 + kπ。開平方得 cos x = ±√3/2，一整圈裡的四個基準角合併成兩族，彼此相隔 π。
x = nπ ± arcsin(√((√145 − 1)/12))，約 nπ ± 1.2843 弧度。6u² + u − 6 = 0 的兩個根裡，只有一個落在允許範圍 0 ≤ u ≤ 1 內。
解是 x ≈ 440.67。兩邊平方後套用 sec²θ − 1 = tan²θ，方程式化成 x·tan 20° = √25725.16，所以 x = √25725.16 除以 tan 20°。
解是 x ≈ 284.44。根號下的常數是 26.8² + 100² = 10718.24，把它的平方根除以 tan 20° = 0.36397 就直接得到 x。
解是 x ≈ 345.26，不是 345.1。平方之後 sec²20° − 1 = tan²20°，所以 x = √15791.21 除以 tan 20°，也就是 125.6631 除以 0.3639702。
答案：a = 6.32857 度（另一個解是 172.52555 度）。先除以公因數 89.474，再用輔助角形式 R sin(a + φ)，其中 R = √1.0001。
答案：x = √5/5，約 0.4472。兩邊取正弦把方程式化成 2x = √(1 − x²)，而正負號條件把負根排除掉。
答案：x = 1.227111 與 5.818835 弧度。和差化積把左邊變成 2cos(3x/2 − π/6)cos(x/2 − π/6)，但它沒有封閉形式的根。
答案：x = 1.227111 與 5.818835 弧度。先展開複合角，化成 c = cos x 的四次式 4c⁴ + 2c³ − 4c² − 2c + 1 = 0，再把增根篩掉。
x = ±arctan(√(−cos t)) + kπ，而且只在 cos t ≤ 0 時才有解。因為 tan²x 永遠不會是負的，cos t 為正時方程式沒有實數根。
解是 x = 2π/3 + 2πk 與 x = 4π/3 + 2πk。乘上 sin x 後得到 2cos²x − cos x − 1 = 0，而 cos x = 1 這個根因為 sin x ≠ 0 必須捨去。
答案是 x = 3π/8 + (π/2)k。兩邊乘以 2 之後 sin 2x cos 2x 變成 sin 4x，兩個函數的乘積就塌成單一的正弦方程式。
有四個解：x = π/6、π/3、7π/6 與 4π/3。先在 [0, 4π] 上解 2x，再把每個角減半，解的個數會比 sin x 多一倍。
答案：sin 2x = ±2√2/3。令 u = sin²x 得到 6u² + u − 1 = 0，捨去負根之後，再用恆等式 sin²2x = 4 sin²x cos²x。
答案：x = π/4 + kπ/2，k 為任意整數。開平方得 sin x = ±√2/2，而由此得到的四族解會合併成一個等差數列。
在 [0, 2π) 上的解是 0、π 與 3π/2。把方程式因式分解成 sin x (sin x + 1) = 0，再分別解 sin x = 0 與 sin x = −1。
答案是 x = 7π/6 + 2πk 或 11π/6 + 2πk。正弦在第三與第四象限為負，而在這兩處參考角都是 π/6。
用二倍角公式 cos2x = 1 − 2sin²x 把方程化成 4sin²x + sin x − 3 = 0，解得 sin x = 3/4 或 −1，通解為 x = (−1)ⁿ arcsin(3/4) + πn 或 x = −π/2 + 2πn。
答案是 θ = π/4 + kπ，也就是 45 + 180k 度。正切每半圈就重複一次，所以 π/4 和 5π/4 都是解——單一一族就全包了。
答案：y = sin(2x + π/3)。把 x 換成 x + π/12 會讓相位加上 2 × π/12 = π/6，所以平移 π/12 使相位剛好移動兩倍那麼多。
已知 α=36°、γ=50°、夾邊 b=78.2，求三角形面積。先得 β=94°，再由正弦定理導出 K = b²sinα sinγ/(2sinβ)，一步算出約 1380.1，並用邊長法與海龍公式交叉驗證。
答案：a = kπ − π/4，k 為任意整數，最小的正值是 3π/4。平移後的正弦是奇函數，恰好發生在總相位為 π 的整數倍時。
這條等式是假的，因此無解。由於 cos(2π) = 1，右邊等於 5，而 10 不是 5；從 5 cos x 最大只有 5 這個界限也能立刻看出來。
答案：tan(−π/6)。兩者都等於 −1/√3，因為正切的週期是 π 而且是奇函數；tan(7π/6) 與 tan(−5π/6) 都是 +1/√3，而 cot(5π/6) 是 −√3。
只有 y = cos(5πx/4) 是偶函數。檢驗 f(−x) 會發現正弦、正切與餘割那三個選項都會變號，所以它們都是奇函數。
只有 tan(m) = 2 與 sin(m) = −0.9 可能成立。其餘不是敗在正弦餘弦的值域只有 [−1, 1]，就是因為 cot(0)、csc(π) 與 π/2 的反正割沒有定義。
tan 30° = 1/√3 = √3/3，約 0.5774。它由 sin 30 除以 cos 30 得來，再把分母有理化；√3 本身其實是 tan 60°。