一個扇形的圓心角為 70 度、半徑為 12 yd。求弧長 s 與扇形面積 A，四捨五入到小數點後三位。

Step-by-step solution

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   先把角換成弧度。 公式 $s=r\theta$ 與 $A=\tfrac12 r^2\theta$ 只有在 $\theta$ 用弧度時才成立，因為它們來自取整個圓的 $\theta/(2\pi)$ 這個比例。乘上 $\pi/180$：

   $\theta=70^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{18}\ \text{弧度}$

   直接拿角度數來算，會讓兩個答案都被放大約 $57$ 倍。

2. 2

   寫出兩個扇形公式。 對以弧度表示的圓心角 $\theta$，

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   它們其實就是整個圓周 $2\pi r$ 與整個面積 $\pi r^2$ 的 $\theta/(2\pi)$ 這個比例。

3. 3

   算弧長。

   $s=r\theta=12\left(\frac{7\pi}{18}\right)=\frac{14\pi}{3}\approx 14.661\ \text{yd}$

4. 4

   算扇形面積。 先把半徑平方，再取一半：

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(12)^2\left(\frac{7\pi}{18}\right)=72\left(\frac{7\pi}{18}\right)=28\pi\approx 87.965\ \text{yd}^2$

5. 5

   寫出兩個四捨五入後的答案。

   $\boxed{s\approx 14.661\ \text{yd},\qquad A\approx 87.965\ \text{yd}^2}$

6. 6

   用關係式 A = ½rs 檢查。 把兩個公式中的 $\theta$ 消掉得 $A=\tfrac12 rs$。用精確形式算 $\tfrac12(12)\left(\tfrac{14\pi}{3}\right)=28\pi$，正是上面求出的面積。（若改用四捨五入後的 $s=14.661$，會得到 $87.966$，最後一位的差異純粹來自捨入。）