已知 sin θ = 0.80，求角 θ 的度數與弧度。

Step-by-step solution

1. 1

   兩邊取反正弦。 能把正弦解掉的運算是 $\sin^{-1}$（arcsin）：

   $\theta=\sin^{-1}(0.80)$

   它的主值範圍是 $-90^\circ\le\theta\le90^\circ$，所以這裡傳回的就是唯一的那個銳角。

2. 2

   檢查輸入值合不合法。 正弦的絕對值不會超過 $1$，而 $0.80$ 落在 $[-1,1]$ 內，所以存在實數角。（像 $1.2$ 這種輸入就無解——按下按鍵之前值得先看一眼。）

3. 3

   計算之前先預測答案。 $\sin45^\circ\approx0.707$、$\sin60^\circ\approx0.866$，而 $0.80$ 夾在兩者之間，所以 $\theta$ 必定落在 $45^\circ$ 與 $60^\circ$ 之間。這個估計正是抓出計算機停在弧度模式的關鍵。

4. 4

   先求度數。

   $\theta=\sin^{-1}(0.80)=53.1301^\circ\approx53.13^\circ$

   穩穩落在預測的 $45^\circ$–$60^\circ$ 區間內 ✓。

5. 5

   換算成弧度。 乘上 $\dfrac{\pi}{180}$：

   $53.1301\times\frac{\pi}{180}=0.9273\ \text{弧度}$

   順手檢查：$0.9273$ 略大於 $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$，又小於 $\tfrac{\pi}{3}=1.0472$，和度數的答案相符。

6. 6

   認出背後的特殊三角形。 $0.80=\tfrac{4}{5}$，所以這就是熟悉的 $3$-$4$-$5$ 直角三角形：長度為 $4$ 的那一邊所對的角。它的餘弦是 $\tfrac35=0.6$，正切是 $\tfrac43$，而且確實 $\tan(53.13^\circ)=1.3333$ ✓。反向驗證，$\sin(0.9273)=0.80000$ ✓。