解三角方程式 sin x 減 2 cos 2x 等於 1，並寫出通解。

Step-by-step solution

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   先把所有項都改寫成同一個三角函數。 方程式同時混了角 $x$ 與角 $2x$，沒辦法直接解。二倍角公式有三種寫法，選那個純粹用正弦表示的，因為另一項就是 $\sin x$：

   $\cos 2x=1-2\sin^{2}x.$

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   代入並整理。

   $\sin x-2\left(1-2\sin^{2}x\right)=1\ \Longrightarrow\ \sin x-2+4\sin^{2}x=1,$

   $4\sin^{2}x+\sin x-3=0.$

   方程式現在是單一未知量的二次式。

3. 3

   解這個二次方程。 令 $t=\sin x$，得 $4t^{2}+t-3=0$。判別式 $D=1^{2}-4(4)(-3)=49$ 是完全平方，所以

   $t=\frac{-1\pm 7}{8}\ \Longrightarrow\ t_{1}=\frac{3}{4},\qquad t_{2}=-1.$

   兩個值都落在 $[-1,1]$ 裡，所以都不必捨去 —— 這一步一定要檢查，因為落在 $[-1,1]$ 之外的根是增根。

4. 4

   解 $\sin x=\tfrac34$。 這個值不是特殊角，所以答案留在 $\arcsin$ 的形式。正弦在第一象限取到 $\tfrac34$ 一次、在第二象限再取一次：

   $x=\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n\quad\text{or}\quad x=\pi-\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z},$

   而緊湊寫法 $x=(-1)^{n}\arcsin\frac{3}{4}+\pi n$ 把兩者收成一行。數值上 $\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$ 弧度 $\approx 48.59^{\circ}$。

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   解 $\sin x=-1$。 這裡正弦取到最小值，每個週期只發生在一個點上，所以只有一族解：

   $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\left(\text{equivalently }x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.$

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   把兩族解代回原方程檢查。 取 $x=\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$：$\sin x-2\cos 2x=0.75-2(-0.125)=1$。取 $x=-\tfrac{\pi}{2}$：$-1-2\cos(-\pi)=-1+2=1$。兩者都滿足方程，所以解集是這兩族的聯集。