求 cos 225° 的值，答案要寫成精確值。

Step-by-step solution

1. 1

   先定出角所在的象限。 $180^\circ<225^\circ<270^\circ$，所以終邊落在第三象限，單位圓上兩個座標都是負的。餘弦讀的是 $x$ 座標，所以答案必定為負。

2. 2

   求參考角。 在第三象限，參考角就是超過 $180^\circ$ 的那一段：

   $225^\circ-180^\circ=45^\circ$

3. 3

   套用第三象限的恆等式。 等價地說就是 $\cos(180^\circ+\theta)=-\cos\theta$：

   $\cos 225^\circ=\cos(180^\circ+45^\circ)=-\cos 45^\circ$

4. 4

   代入特殊角的值。

   $\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\quad\Longrightarrow\quad \cos 225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$

5. 5

   用數值和正負號規則檢查。 $-\tfrac{\sqrt2}{2}\approx-0.7071068$，而直接計算 $\cos 225^\circ$ 得到 $-0.7071068$ $\checkmark$。負號和第三象限的預測吻合；另外 $225^\circ$ 換成弧度是 $\tfrac{5\pi}{4}$，對應單位圓上的點 $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$。