求 arctan(15/66.67) 的值，答案同時以度與弧度表示。

Step-by-step solution

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   先了解反正切會傳回什麼。 $\arctan t$ 是滿足 $\tan\theta=t$ 且 $-90^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ 的角 $\theta$。和 $\arcsin$、$\arccos$ 不同，它的定義域是全體實數，所以不必檢查輸入值的範圍。在應用題裡，$\arctan\frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}}$ 這個形式，正是從直角三角形的兩股反推銳角的做法。

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   先把比值化成一個小數。 除法要在三角函數之前先做完：

   $\frac{15}{66.67}=0.2249887\ldots\approx0.2250$

   於是問題變成 $\arctan(0.2250)$。

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   預判答案的大小。 由於 $\tan0^{\circ}=0$、$\tan 45^{\circ}=1$，正切值只有 $0.225$ 的角必然遠小於 $45^{\circ}$——而且小角度時（以弧度計）$\tan\theta\approx\theta$，可以預期大約是 $0.225$ 弧度 $\approx13^{\circ}$。這個估計正好能抓出計算機角度模式沒切對的情形。

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   先求弧度值。

   $\arctan(0.2249887)=0.2213037\ \text{弧度}\approx0.2213\ \text{弧度}$

   和預期一樣，略低於輸入值 $0.225$，因為對很小的正數 $\theta$ 而言 $\tan\theta>\theta$。

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   換算成度。 乘上 $\dfrac{180}{\pi}$：

   $0.2213037\times\frac{180}{\pi}=12.6798^{\circ}\approx12.68^{\circ}$

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   反向驗證。 $\tan(12.6798^{\circ})=0.224989$，和 $\tfrac{15}{66.67}=0.224989$ 在小數點後六位完全吻合 ✓。