求滿足方程式 sin x = −√2/2 的所有實數。

Step-by-step solution

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   先由絕對值求出參考角。 暫時忽略正負號：$\sin\theta = \tfrac{\sqrt2}{2}$ 發生在 $\theta = \tfrac{\pi}{4}$（等腰直角三角形的 $45^{\circ}$ 角）。所以參考角是 $\tfrac{\pi}{4}$。

2. 2

   用正負號決定象限。 正弦是單位圓上的 $y$ 座標，所以 $\sin x < 0$ 會把 $x$ 放在第三或第四象限。每一圈恰好有兩個這樣的角，兩個都必須出現在答案裡。

3. 3

   寫出兩個基本角。 第三象限的角是 $\pi + \tfrac{\pi}{4}$；第四象限的是 $2\pi - \tfrac{\pi}{4}$：

   $x = \frac{5\pi}{4} \qquad \text{和} \qquad x = \frac{7\pi}{4}$

4. 4

   用週期延拓。 正弦的週期是 $2\pi$，所以在每個基本角上加 $2\pi n$：

   $\left\{x \;\middle|\; x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \ \text{ 或 } \ x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}\right\}$

5. 5

   驗證兩族解。 $\sin\tfrac{5\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓ 且 $\sin\tfrac{7\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓。以 $\tfrac{4\pi}{3}$ 與 $\tfrac{5\pi}{3}$ 為基礎的誘答集合不成立，因為它們給出的是 $\sin x = -\tfrac{\sqrt3}{2} \approx -0.866$，而不是 $-0.7071$。以 $\tfrac{3\pi}{4}$ 為基礎的集合也不成立，因為那個角在第二象限，正弦在那裡是正的。