解 tan θ = 1，求所有實數 θ。

Step-by-step solution

1. 1

   由定義找出參考角。 由於 $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$，正切值為 $1$ 表示 $\sin\theta=\cos\theta$。在直角三角形中，這代表對邊與鄰邊等長——也就是 $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ 三角形。所以

   $\theta=45^\circ=\frac{\pi}{4}$

   是一個解，並由 $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$ 精確確認。

2. 2

   在一整圈裡找出第二個解。 正切在第三象限也是正的，那裡正弦與餘弦都是負的、而且依然相等：在 $\theta=\tfrac{5\pi}{4}$ 時，$\sin=\cos=-\tfrac{\sqrt2}{2}$，所以 $\tan=1$ 又成立一次。

3. 3

   認清週期是 π 而不是 2π。 這兩個解之間的間距剛好是 $\pi$。原因是把正弦與餘弦同時變號，它們的比值不變：$\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$。所以正切每半圈就重複一次——這和需要 $2\pi$ 的正弦、餘弦不同。

4. 4

   把通解寫成單一一族。 因為週期是 $\pi$，兩個基準解一次就被涵蓋：

   $\theta=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   取 $k=0$ 得 $\tfrac{\pi}{4}$，取 $k=1$ 得 $\tfrac{5\pi}{4}$。這裡不需要第二族——這是和 $\sin x=c$ 或 $\cos x=c$ 的真正差別，那兩者各需要兩族。

5. 5

   寫出度數形式。

   $\theta=45^\circ+180^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   也就是 $45^\circ,\ 225^\circ,\ 405^\circ,\ -135^\circ,\ \ldots$

6. 6

   在數個 k 上驗證。 對 $k=-3,\,0,\,1,\,5$ 計算 $\tan\left(\tfrac{\pi}{4}+k\pi\right)$，每次都得到 $1.000000$ ✓，而且這些角都沒有落在正切沒有定義的 $\tfrac{\pi}{2}$ 奇數倍上 ✓。