a 取哪些值時，y = sin(x + π/4 + a) 是奇函數？

Step-by-step solution

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   寫下奇函數的條件。 一個函數是奇函數，當且僅當對每個 $x$ 都有 $f(-x)=-f(x)$。把常數合併成單一相位 $c=\tfrac{\pi}{4}+a$，函數就是 $f(x)=\sin(x+c)$，問題於是變成：$c$ 取什麼值時 $\sin(x+c)$ 是奇函數？

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   找出哪些相位能讓正弦保持是奇函數。 光禿禿的 $\sin x$ 是奇函數，而加上 $\pi$ 的整數倍會保住這個性質：

   $\sin(x+k\pi)=(-1)^{k}\sin x,$

   它就是 $\pm\sin x$——仍然是奇函數。其他任何相位都會混進餘弦，因為 $\sin(x+c)=\sin x\cos c+\cos x\sin c$，而 $\cos x\sin c$ 那一項是偶的，除非 $\sin c=0$，否則會破壞對稱性。

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   確認這個條件也是必要的。 在 $x=0$ 檢驗：奇函數必須滿足 $f(0)=-f(0)$，因此 $f(0)=0$。這裡 $f(0)=\sin c$，所以 $\sin c=0$，於是

   $c=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   單單 $x=0$ 這一個值就足以完全鎖定這個條件，而第 2 步也已說明它同時是充分的。

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   解出 $a$。 由 $c=\tfrac{\pi}{4}+a=k\pi$：

   $a=k\pi-\frac{\pi}{4},\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   最小的正值是取 $k=1$，得 $a=\tfrac{3\pi}{4}$；取 $k=0$ 得 $a=-\tfrac{\pi}{4}$，那會把函數還原成純粹的 $\sin x$。

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   用數值驗證。 取 $a=\tfrac{3\pi}{4}$，函數就是 $\sin(x+\pi)=-\sin x$。在 $x=0.7$ 檢驗奇性：$f(0.7)+f(-0.7)=2\times10^{-16}\approx0$ ✓。作為對照，$a=0$ 給出 $\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$，那裡 $f(0)=\tfrac{\sqrt2}{2}\ne0$，所以它既不是奇函數也不是偶函數。