求滿足 sin x = √3/2 的所有實數。

Step-by-step solution

1. 1

   求參考角。 參考角是正弦絕對值相同的那個銳角：

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\quad\Longrightarrow\quad \text{參考角}=\frac{\pi}{3}$

2. 2

   判斷適用哪些象限。 值 $\tfrac{\sqrt3}{2}$ 是正的，而 $\sin x>0$ 出現在第一與第二象限。所以在一個週期 $[0,2\pi)$ 內恰有兩個解 — 只要正弦方程式的值嚴格落在 $-1$ 與 $1$ 之間，就一定有兩個解。

3. 3

   寫出兩個基本解。 第一象限就是參考角本身；第二象限則是 $\pi$ 減掉它：

   $x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$

4. 4

   用週期延拓。 正弦的週期是 $2\pi$，所以每一個解都可由加上 $2\pi$ 的整數倍得到：

   $\boxed{\left\{x\ \middle|\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\ \text{ 或 }\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}}$

5. 5

   驗證兩族解，並記下更緊湊的寫法。 $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓ 且 $\sin\tfrac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓。這兩族也可以寫成單一式子 $x=(-1)^{n}\tfrac{\pi}{3}+\pi n$、$n\in\mathbb{Z}$，產生的是同一個集合。但若只在 $\tfrac{\pi}{3}$ 上加 $\pi n$ 而不是 $2\pi n$，就會誤把 $x=\tfrac{4\pi}{3}$ 也算進來，而在那裡 $\sin x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$。