化簡 arctan x 加上 arctan(1/x)。

Step-by-step solution

1. 1

   先確定定義域。 $\frac1x$ 這一項要求 $x\neq 0$，所以這個式子定義在 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ 上 — 兩個分開的區塊，這已經暗示答案在各自的區塊上可能不同。

2. 2

   情形 $x>0$：利用互餘角。 令 $\theta=\arctan x$，則 $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 且 $\tan\theta=x$。於是

   $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta=\frac1x$

   而 $\frac{\pi}{2}-\theta$ 也落在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 裡，這正好在 $\arctan$ 的主值範圍內。因此 $\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}-\theta$，於是

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}$

3. 3

   情形 $x<0$：改用奇函數的性質，不必重做一遍。 此時 $x<0$ 與 $\frac1x<0$ 同時成立，所以兩個反正切都是負的，它們的和不可能是 $+\frac{\pi}{2}$。把前一個結果套在 $-x>0$ 上，再用 $\arctan(-t)=-\arctan t$：

   $\arctan(-x)+\arctan\left(-\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ -\left(\arctan x+\arctan\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}$

   所以這個和等於 $-\frac{\pi}{2}$。

4. 4

   看看為什麼單靠正切加法公式不夠。 取 $A=\arctan x$ 與 $B=\arctan\frac1x$，

   $\tan(A+B)=\frac{x+\frac1x}{1-x\cdot\frac1x}=\frac{x+\frac1x}{0}$

   它是無定義的。這只告訴我們 $A+B$ 是 $\frac{\pi}{2}$ 的奇數倍；要決定究竟是哪一個，還得靠上面的值域論證。

5. 5

   合併成一個公式。

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x),\qquad x\neq 0$

   這個函數在每一條半直線上都是常數，並在 $x=0$ 處跳躍 $\pi$ — 它絕對不是恆等於 $\frac{\pi}{2}$。

6. 6

   用數值檢查。 取 $x=2$：$\arctan 2=1.1071487$、$\arctan 0.5=0.4636476$，相加得 $1.5707963=\frac{\pi}{2}$ ✓。取 $x=-2$ 時兩個值都變號，和為 $-1.5707963=-\frac{\pi}{2}$ ✓。