若 y = arcsin(√3/2)，求 y。

Step-by-step solution

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   先說明反正弦會傳回什麼。 $\sin^{-1}(a)$ 是唯一滿足

   $\sin y=a\qquad\text{且}\qquad -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}$

   的角 $y$。限制值域，正是讓反函數成為函數的關鍵；少了它就會有無窮多個答案。

2. 2

   檢查輸入值在定義域內。 $\sin^{-1}$ 的定義域是 $[-1,1]$，而 $\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0.8660$ 就在其中，所以答案存在。

3. 3

   回想這個特殊角。 由 $30$-$60$-$90$ 三角形（或單位圓）可知

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$

   值得背下來的三個值是 $\sin\frac\pi6=\frac12$、$\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$、$\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}$——分母相同，分子遞增。

4. 4

   確認候選角落在主值範圍內。 由於 $0<\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}$，角 $\tfrac\pi3$ 是可接受的，所以

   $y=\frac{\pi}{3}=60^{\circ}$

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   留意那個被刻意排除的答案。 $\sin\dfrac{2\pi}{3}$ 也等於 $\dfrac{\sqrt3}{2}$，而且對每個整數 $k$，$\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)$ 同樣如此。它們全都是方程式 $\sin y=\frac{\sqrt3}{2}$ 的解，但只有 $\tfrac\pi3$ 才是 $\sin^{-1}$ 的值。把「解 $\sin y=a$」和「求 $\sin^{-1}a$ 的值」混為一談，正是這裡最典型的錯誤。