解 2 sin y = sin x + sin(x + y)，其中 x、y 都在 [0, 2π) 內。

Step-by-step solution

1. 1

   把右邊的和化成積。 恆等式 $\sin A+\sin B=2\sin\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2}$，取 $A=x+y$ 與 $B=x$，得到

   $\sin x+\sin(x+y)=2\sin\!\left(x+\frac y2\right)\cos\frac y2$

2. 2

   用二倍角公式改寫左邊。

   $2\sin y=4\sin\frac y2\cos\frac y2$

   現在兩邊都帶著共同因式 $\cos\tfrac y2$，這正是本題的結構關鍵。

3. 3

   要提出因式，不要直接除。 把所有東西移到同一邊：

   $2\cos\frac y2\left[2\sin\frac y2-\sin\!\left(x+\frac y2\right)\right]=0$

   若不提因式，而是兩邊直接除以 $\cos\tfrac y2$，就會悄悄丟掉所有 $\cos\tfrac y2=0$ 的解——這正是本題最常見的答不完整的方式。

4. 4

   分支 1：$\cos\tfrac y2=0$。 在 $[0,2\pi)$ 上這表示 $\tfrac y2=\tfrac\pi2$，所以

   $y=\pi\qquad\text{對每個 }x\in[0,2\pi)$

   都成立。直接檢查：$2\sin\pi=0$，而 $\sin x+\sin(x+\pi)=\sin x-\sin x=0\;\checkmark$。這是一整條解線，不是單一一個點。

5. 5

   分支 2：$\sin\!\left(x+\tfrac y2\right)=2\sin\tfrac y2$。 正弦的絕對值不超過 $1$，所以這一支要求

   $\left|2\sin\frac y2\right|\le 1\iff\left|\sin\frac y2\right|\le\frac12\iff y\in\left[0,\frac\pi3\right]\cup\left[\frac{5\pi}{3},2\pi\right)$

   而對每個可行的 $y$，相對應的 $x$ 值是

   $x\equiv\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\quad\text{或}\quad x\equiv\pi-\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\pmod{2\pi}$

6. 6

   把完整解集總結起來。 解是水平線 $y=\pi$，再加上分支 2 的那兩條曲線。數值抽查證實兩族都成立：在 $y=\pi$ 且 $x=0.3,\,1.234,\,2.7,\,5.5$ 時殘差都低於 $4\times 10^{-16}$；而分支 2 在 $y=0$ 時逼出 $\sin x=0$，給出 $x=0$ 與 $x=\pi$，它們確實精確滿足原方程式。