解 4 · cos x · cos x − 3 = 0，寫出通解。

Step-by-step solution

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   先讀懂符號。 兩個餘弦因式中間的是乘號，不是變數，所以整個式子是 $4\cos x\cdot\cos x=4\cos^{2}x$，方程式即

   $4\cos^{2}x-3=0.$

   把重複的因式寫成平方，正是讓這條方程式變成 $\cos x$ 的普通二次式的關鍵一步。

2. 2

   把 $\cos^{2}x$ 孤立出來。 加 $3$ 再除以 $4$：

   $\cos^{2}x=\frac34.$

   值 $\tfrac34$ 落在 $[0,1]$ 內，所以實數解存在。若右邊超過 $1$，就會無解。

3. 3

   開平方，正負號都要取。 由 $\cos^{2}x=\tfrac34$，

   $\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$

   $\tfrac{\sqrt3}{2}$ 的參考角是 $\tfrac{\pi}{6}$（$30^{\circ}$）。捨掉負的那一支會漏掉一半的解——這是非常常見的疏忽。

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   列出一整圈裡的基準角。 對 $\cos x=+\tfrac{\sqrt3}{2}$：$x=\tfrac{\pi}{6}$ 與 $x=\tfrac{11\pi}{6}$。對 $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$：$x=\tfrac{5\pi}{6}$ 與 $x=\tfrac{7\pi}{6}$。每個 $2\pi$ 的週期裡有四個解，對兩條軸都對稱。

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   合併成兩族精簡的解。 這四個角是 $\pm\tfrac{\pi}{6}$ 與 $\pm\tfrac{\pi}{6}+\pi$，所以通解是

   $x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   檢查：$4\cos^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-3=4\cdot\tfrac34-3=0$ ✓，在 $\tfrac{5\pi}{6}$ 與 $\tfrac{7\pi}{6}$ 也一樣 ✓。週期是 $\pi$ 而不是 $2\pi$，因為 $x$ 增加 $\pi$ 時 $\cos^{2}$ 不變。