求 arcsin(0.395) 的精確值，或說明為何不存在，並給出弧度與度的十進位值。

Step-by-step solution

1. 1

   先說清楚題目要什麼。 我們要找唯一滿足 $\sin\theta = 0.395 = \tfrac{79}{200}$ 的 $\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$。由於 $0 < 0.395 < 1$，這個角落在第一象限。

2. 2

   排除封閉形式的可能。 在有理數裡，只有 $0,\ \pm\tfrac12,\ \pm 1$ 這幾個正弦值會給出封閉形式的角（奈文定理），另外再加上二次根式 $\pm\tfrac{\sqrt2}{2}, \pm\tfrac{\sqrt3}{2}$。$\tfrac{79}{200}$ 雖然是有理數，卻不是 $0, \pm\tfrac12$ 或 $\pm1$，所以這個角不是 $\pi$ 的有理數倍，也沒有初等的精確形式。精確答案就是 $\arcsin(0.395)$ 本身。

3. 3

   用級數求出弧度值。 在 $\arcsin u = u + \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{3u^5}{40} + \tfrac{15u^7}{336} + \cdots$ 中取 $u = 0.395$：$0.395 + 0.010272 + 0.000721 + 0.000067 + 0.000007 = 0.406067$，收斂到

   $\arcsin(0.395) \approx 0.4060679\ \text{弧度}$

4. 4

   換算成度。

   $0.4060679 \times \frac{180}{\pi} \approx 23.2660^{\circ}$

5. 5

   驗算，並和鄰近的值比較。 $\sin(23.2660^{\circ}) = 0.395000$。拿 $\arcsin(0.375) \approx 22.0243^{\circ}$ 來對照：正弦值增加 $0.02$，角度只移動了約 $1.24^{\circ}$，這和 $\tfrac{d\theta}{d(\sin\theta)} = \tfrac{1}{\cos\theta} \approx 1.088$ 弧度（每增加一單位正弦值）一致，換算成度大約是每單位正弦值 $\approx 62^{\circ}$。