化簡 sin A / cot A − csc A · sin A。

Step-by-step solution

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   把每個倒數函數都換成正弦與餘弦。 $\cot$ 和 $\csc$ 混在一起時，唯一可靠的第一步就是把兩者都用 $\sin$ 與 $\cos$ 寫出來：$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A},\qquad \csc A=\frac{1}{\sin A}.$ 這樣所有東西都落在同一種語言裡，該約掉的地方也就看得見了。

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   化簡第一項。 除以一個分數就是乘上它的倒數：$\frac{\sin A}{\cot A}=\frac{\sin A}{\dfrac{\cos A}{\sin A}}=\sin A\cdot\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin^{2}A}{\cos A}.$ 它等價於 $\sin A\tan A$，這個形式值得認得。

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   化簡第二項。 $\csc A\,\sin A=\frac{1}{\sin A}\cdot\sin A=1,$ 在 $\sin A\neq 0$ 的地方都成立。倒數函數乘上它自己所對應的函數永遠是 $1$——這就是倒數恆等式的全部內容。

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   把兩個結果合起來。 $\frac{\sin A}{\cot A}-\csc A\,\sin A=\frac{\sin^{2}A}{\cos A}-1=\frac{\sin^{2}A-\cos A}{\cos A},$ 所以精簡地寫就是 $\sin A\tan A-1$。畢氏恆等式在這裡幫不上忙，因為分子把 $\sin^{2}A$ 和一次方的 $\cos A$ 混在一起了。

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   寫出定義域並代值檢查。 這個結果需要 $\sin A\neq 0$（$\cot$ 與 $\csc$ 才存在）以及 $\cos A\neq 0$（商才有定義），所以 $A$ 必須避開 $\tfrac{\pi}{2}$ 的所有倍數。取 $A=\tfrac{\pi}{3}$ 測試：原式是 $\dfrac{\sin 60^\circ}{\cot 60^\circ}-\csc 60^\circ\sin 60^\circ=\dfrac{0.8660254}{0.5773503}-1=1.5-1=0.5$，而化簡後的形式給出 $\dfrac{0.75}{0.5}-1=1.5-1=0.5$。