證明 tan 30° = √3 除以 3，並說明為什麼答案不是 √3。

Step-by-step solution

1. 1

   從正切的定義出發。 正切不是要另外背下來的獨立數值，它是一個比值：

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

   所以 $\tan30^\circ$ 的精確值，是由精確的正弦與餘弦推得的。

2. 2

   回想 30-60-90 三角形的值。 在角為 $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ 的直角三角形中，各邊比例是 $1:\sqrt3:2$，於是

   $\sin30^\circ=\frac{1}{2},\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$

3. 3

   做出這個商並約分。 分數相除就是乘上倒數：

   $\tan30^\circ=\frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$

   兩個二分之一互相抵消，只剩下 $\tfrac{1}{\sqrt3}$。

4. 4

   把分母有理化。 $\tfrac{1}{\sqrt3}$ 已經正確，但習慣上會改寫成分母不帶根號的形式：

   $\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$

   所以 $\tan30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$，而 $\tfrac{1}{\sqrt3}$ 和 $\tfrac{\sqrt3}{3}$ 是同一個數，不是兩個不同的答案。

5. 5

   說明為什麼常有人混成根號 3。 $\sqrt3$ 是 $\tan60^\circ$，因為在 $60^\circ$ 時兩股的角色互換了：$\tan60^\circ=\frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3$。兩者互為倒數：$\tan30^\circ\cdot\tan60^\circ=1$。

6. 6

   檢查大小，一下子就能定案。 $\tfrac{\sqrt3}{3}\approx0.5774$，小於 $\tan45^\circ=1$——這是對的，因為 $30^\circ<45^\circ$。但 $\sqrt3\approx1.732$ 大於 $1$，所以它絕不可能是小於 $45^\circ$ 的角的正切值 ✓。