解 cot x + 2 sin x − csc x = 0，求所有實數 x。

Step-by-step solution

1. 1

   全部通分到正弦上，並記下定義域。 用 $\cot x = \tfrac{\cos x}{\sin x}$ 與 $\csc x = \tfrac{1}{\sin x}$：

   $\frac{\cos x - 1}{\sin x} + 2\sin x = 0$

   $\cot$ 與 $\csc$ 都要求 $\sin x \ne 0$，所以 $x \ne \pi k$ 從一開始就是題目的一部分——這個限制稍後會決定答案。

2. 2

   兩邊乘上 sin x。 因為在定義域上 $\sin x \ne 0$，這一步合法，而且什麼也不會丟掉：

   $\cos x - 1 + 2\sin^2 x = 0$

3. 3

   化成單一的三角函數。 代入 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，方程式就變成 $\cos x$ 的二次式：

   $2\left(1-\cos^2 x\right) + \cos x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

   （整條再乘以 $-1$ 之後）。化到只剩一個函數，正是讓三角方程式可以用代數解掉的關鍵。

4. 4

   把二次式因式分解。 令 $c = \cos x$，

   $2c^2 - c - 1 = (2c+1)(c-1) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \cos x = -\frac12 \ \text{ 或 } \ \cos x = 1$

5. 5

   捨去違反定義域的那個根。 若 $\cos x = 1$，則 $x = 2\pi k$，此時 $\sin x = 0$，$\cot x$ 與 $\csc x$ 都沒有定義。所以 $\cos x = 1$ 是增根，由乘上 $\sin x$ 那一步引進——正是那種必須拿回原方程式檢驗的根。

6. 6

   解出存活下來的方程式。 $\cos x = -\tfrac12$ 的參考角是 $\tfrac{\pi}{3}$，解落在第二與第三象限：

   $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \qquad \text{或} \qquad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

   把其中十個值代回 $\cot x + 2\sin x - \csc x$，結果都在 $10^{-12}$ 以內等於 $0$，而且每一處 $\sin x = \pm\tfrac{\sqrt3}{2} \ne 0$，所以全部有效。