解 cos(2x − π/3) + cos x = 1/2，其中 x 在 [0, 2π) 內。

Step-by-step solution

1. 1

   展開複合角。 用 $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$，配上 $\cos\tfrac\pi3=\tfrac12$、$\sin\tfrac\pi3=\tfrac{\sqrt3}{2}$：$\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x+\cos x = \frac12.$

2. 2

   把所有東西都寫成 sin x 與 cos x。 用 $\cos 2x = 2c^2-1$ 與 $\sin 2x = 2sc$（其中 $c=\cos x$、$s=\sin x$）：$\frac{2c^2-1}{2}+\sqrt3\,sc+c = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad c^2+c-1 = -\sqrt3\,sc.$

3. 3

   平方以消去正弦，並留意風險。 把 $s^2$ 換成 $1-c^2$：$(c^2+c-1)^2 = 3c^2(1-c^2) \quad\Longrightarrow\quad 4c^4+2c^3-4c^2-2c+1 = 0.$ 平方可能製造出滿足四次式、卻不滿足原方程式的根，所以每個候選值最後都必須檢驗。

4. 4

   用數值解這條四次式。 在 $[-1,1]$ 內這條四次式恰好有兩個根：$c \approx 0.3369592 \quad\text{與}\quad c \approx 0.8941126.$ 兩個都不是漂亮的根式，所以答案會是數值形式。

5. 5

   把每個餘弦值換成角度並篩選。 每個 $c$ 在 $[0,2\pi)$ 內給出兩個角：$c=0.3369592$ 對應 $x=1.227111$ 或 $5.056074$；$c=0.8941126$ 對應 $x=0.464351$ 或 $5.818835$。代回原方程式，只有 $x=1.227111$ 與 $x=5.818835$ 會得到 $\tfrac12$——另外兩個是平方引進的增根（它們滿足的是變號版本 $c^2+c-1=+\sqrt3 sc$）。

6. 6

   驗證存活下來的兩個根。 在 $x=1.227111$：$\cos(1.407024)+\cos(1.227111) = 0.163041+0.336959 = 0.500000$。在 $x=5.818835$：$\cos(10.590472)+\cos(5.818835) = -0.394113+0.894113 = 0.500000$。就所列出的位數而言，兩者都正確。