一個扇形的圓心角為 π/3 弧度、半徑為 2 ft。求弧長 s 與扇形面積 A，四捨五入到小數點後三位。

Step-by-step solution

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   寫出兩個扇形公式。 對以弧度表示的圓心角 $\theta$，

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   它們其實就是整個圓周 $2\pi r$ 與整個面積 $\pi r^2$ 的 $\theta/(2\pi)$ 這個比例。

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   算弧長。

   $s=r\theta=2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ft}$

3. 3

   算扇形面積。 先把半徑平方，再取一半：

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(2)^2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12(4)\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ft}^2$

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   寫出兩個四捨五入後的答案。

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{ft},\qquad A\approx 2.094\ \text{ft}^2}$

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   用關係式 A = ½rs 檢查。 把 $\theta$ 消掉得 $A=\tfrac12 rs$，而 $\tfrac12(2)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}$，正是上面求出的面積。

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   為什麼這裡兩個答案的數值相同。 $A=\tfrac12 r^2\theta$ 與 $s=r\theta$ 差了一個因子 $\tfrac12 r$，而它恰好在 $r=2$ 時等於 $1$。所以這個巧合是半徑為 $2$ 時獨有的，不會延續到其他半徑 — 而且兩者的單位仍然不同（$\text{ft}$ 對 $\text{ft}^2$）。