哪個角的餘弦值是 −0.8？求 0° 到 360° 之間的所有解。

Step-by-step solution

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   先判斷解可能落在哪裡。 餘弦等於單位圓上的 x 座標，所以餘弦為負會把角放到鉛直軸的左側 — 也就是第二象限或第三象限。一整圈內應該恰好有兩個解。

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   由絕對值求參考角。 參考角要用 $+0.8$，因為它量的是到最近的水平軸之間的銳角：

   $\alpha = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$

   （這正是熟悉的 $3$–$4$–$5$ 角，因為 $0.8 = 4/5$。）

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   把參考角放進第二象限。 第二象限的角是 $180^\circ$ 減去參考角：

   $\theta_1 = 180^\circ - 36.87^\circ = 143.13^\circ$

   這也正是計算機對 $\cos^{-1}(-0.8)$ 直接給出的值，因為反餘弦的值域是 $[0^\circ, 180^\circ]$。

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   再放進第三象限。 第三象限的角是 $180^\circ$ 加上參考角：

   $\theta_2 = 180^\circ + 36.87^\circ = 216.87^\circ$

   等價地說 $\theta_2 = 360^\circ - \theta_1$，因為餘弦是偶函數。

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   換算成弧度並檢查。 乘上 $\pi/180$：

   $\theta_1 \approx 2.498 \text{ 弧度}, \qquad \theta_2 \approx 3.785 \text{ 弧度}$

   代回去算：$\cos(143.13^\circ) = -0.8000$、$\cos(216.87^\circ) = -0.8000$，兩者到小數第四位都正確。再加上 $360^\circ$ 的任意倍數，就會得到更多解。