解 a：120² = 150² + a² − 2 × 150 × a × cos 30°。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這是未知數擺在「不好位置」的餘弦定理。 在 $c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ba\cos C$ 裡，未知的 $a$ 同時以平方項與一次項出現，所以這是關於 $a$ 的二次方程式，不是一步就能算完的求值。可以預期最多有兩個正解——也就是 SSA 模稜兩可的情形：兩個不同的三角形共用同一組已知資料。

2. 2

   代入已知的值。 由 $120^{2}=14400$、$150^{2}=22500$ 與 $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$：

   $14400=22500+a^{2}-2(150)a\cdot\frac{\sqrt3}{2}=22500+a^{2}-150\sqrt3\,a$

   那個 2 和 $\cos 30^{\circ}$ 的分母約掉，留下漂亮的係數 $150\sqrt3$。

3. 3

   整理成標準的二次式。

   $a^{2}-150\sqrt3\,a+8100=0$

   因為 $22500-14400=8100$。

4. 4

   套用公式解並化簡根式。

   $\left(150\sqrt3\right)^{2}=67500,\qquad 67500-4(8100)=35100,\qquad \sqrt{35100}=30\sqrt{39}$

   所以

   $a=\frac{150\sqrt3\pm 30\sqrt{39}}{2}=75\sqrt3\pm 15\sqrt{39}$

5. 5

   小心地換成小數。 由 $\sqrt3=1.7320508$ 與 $\sqrt{39}=6.2449980$：

   $75\sqrt3=129.9038,\qquad 15\sqrt{39}=93.6750$

   $a=129.9038+93.6750=223.5788\qquad\text{或}\qquad a=129.9038-93.6750=36.2288$

6. 6

   把兩個解都代回原式檢查。 取 $a=223.5788$：$22500+49987.5-2(150)(223.5788)(0.866025)=14400$ ✓。取 $a=36.2288$：$22500+1312.5-9412.5=14400$ ✓。兩者都是正數，所以兩個三角形在幾何上都成立，都必須列出來。