將 arctan(1/x) 用 arctan(x) 表示，分別討論 x 為正與 x 為負的情形。

Step-by-step solution

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   先注意定義域。 $\tfrac1x$ 這個式子要求 $x\neq 0$，所以恆等式會有兩個分支，而在 $x=0$ 處無話可說。

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   由餘角關係導出正的分支。 對 $x>0$，令 $\theta=\arctan x$，則 $0<\theta<\tfrac{\pi}{2}$。在兩股為 $1$ 與 $x$ 的直角三角形中，兩個銳角互餘，而把哪一股當成「對邊」對調過來，就等於把 $x$ 換成 $\tfrac1x$：

   $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan x,\qquad x>0$

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   看看為什麼負的分支需要不同的常數。 當 $x<0$ 時，$\arctan x$ 與 $\arctan\tfrac1x$ 都落在 $\left(-\tfrac{\pi}{2},0\right)$ 內，所以它們的和是負的，不可能是 $+\tfrac{\pi}{2}$。正確的常數是負的那一個：

   $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi}{2}-\arctan x,\qquad x<0$

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   理解這個跳躍。 函數 $\arctan x+\arctan\tfrac1x$ 在原點兩側各自是常數，但跨過原點時跳了 $\pi$：$x>0$ 時取值 $\tfrac{\pi}{2}$，$x<0$ 時取值 $-\tfrac{\pi}{2}$。跳躍之所以存在，是因為 arctan 的主值範圍只有 $\pi$ 這麼寬。

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   在每個分支各驗一個值。 取 $x=2$：$\arctan\tfrac12\approx 0.46365$，而 $\tfrac{\pi}{2}-\arctan 2\approx 1.57080-1.10715=0.46365$ $\checkmark$。取 $x=-2$：$\arctan\left(-\tfrac12\right)\approx-0.46365$，而 $-\tfrac{\pi}{2}-\arctan(-2)\approx-1.57080+1.10715=-0.46365$ $\checkmark$。