已知 cos²x = 6 sin⁴x，求 sin 2x。

Step-by-step solution

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   把所有東西化成同一個量。 兩邊都只出現偶次冪，所以畢氏恆等式讓我們可以只用一個未知數處理。令

   $u=\sin^{2}x,\qquad\text{於是}\qquad\cos^{2}x=1-u,\qquad \sin^{4}x=u^{2}.$

   選 $u=\sin^{2}x$ 而不是 $\sin x$，可以完全避開正負號的麻煩——題目裡沒有任何東西區分 $x$ 和 $-x$。

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   列出並解這條二次方程式。 代進 $\cos^{2}x=6\sin^{4}x$：

   $1-u=6u^{2}\;\Longrightarrow\;6u^{2}+u-1=0\;\Longrightarrow\;(3u-1)(2u+1)=0,$

   所以 $u=\tfrac13$ 或 $u=-\tfrac12$。

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   捨去不可能的根。 由於 $u=\sin^{2}x$ 是一個平方，$u\ge0$，所以 $u=-\tfrac12$ 要捨去。另外 $u=\sin^{2}x\le1$，而 $\tfrac13$ 這一關也過得了。因此

   $\sin^{2}x=\frac13,\qquad \cos^{2}x=1-\frac13=\frac23.$

   檢查原本的條件：$6\sin^{4}x=6\cdot\tfrac19=\tfrac23=\cos^{2}x$ ✓。

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   用平方形式的二倍角公式。 由 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，先平方就完全不必去管 $\sin x$ 與 $\cos x$ 各自的正負號：

   $\sin^{2}2x=4\sin^{2}x\cos^{2}x=4\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac89.$

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   開平方，兩個正負號都保留。 因此

   $\sin 2x=\pm\sqrt{\frac89}=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\approx\pm0.9428.$

   兩個號真的都會出現：原條件只限制了 $\sin^{2}x$，所以 $x$ 可以落在任何象限，而 $\sin 2x$ 在第一、第三象限為正，在第二、第四象限為負。沒有額外的象限資訊，答案就必須帶著 $\pm$。