求 cos(2π/9) 乘 cos(4π/9) 乘 cos(8π/9) 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   看出角度加倍的規律。 每個角都是前一個的兩倍：$\tfrac{2\pi}{9}\to\tfrac{4\pi}{9}\to\tfrac{8\pi}{9}$。令 $x=\tfrac{2\pi}{9}$，這個乘積正好是 $\cos x\cos2x\cos4x$——這條鏈可以用正弦的二倍角公式層層收掉。

2. 2

   回想那條會層層抵消的恆等式。 乘上 $\sin x$ 之後反覆套用 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，可得

   $\cos x\cos2x\cos4x=\frac{\sin8x}{8\sin x}$

   每加倍一次就貢獻一個因數 $2$，所以三個餘弦在分母湊出 $8$。

3. 3

   代入 $x=\tfrac{2\pi}{9}$。 此時 $8x=\tfrac{16\pi}{9}$，於是

   $\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}\cos\frac{8\pi}{9}=\frac{\sin\frac{16\pi}{9}}{8\sin\frac{2\pi}{9}}$

4. 4

   化簡分子裡的正弦。 因為 $\tfrac{16\pi}{9}=2\pi-\tfrac{2\pi}{9}$，而 $\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta$：

   $\sin\frac{16\pi}{9}=-\sin\frac{2\pi}{9}$

   正是這一步讓所有東西消掉——分子變成分母裡那個正弦的相反數。

5. 5

   約分收尾。

   $\frac{-\sin\frac{2\pi}{9}}{8\sin\frac{2\pi}{9}}=-\frac{1}{8}$

   可以放心約分，因為 $\sin\tfrac{2\pi}{9}\neq0$。

6. 6

   數值驗證並檢查正負號。 直接計算得到 $0.766044\times0.173648\times(-0.939693)=-0.125$，和 $-\tfrac18$ 的差在 $10^{-15}$ 以內 ✓。正負號也對，因為 $\tfrac{8\pi}{9}$ 只差一點就到 $\pi$，落在餘弦為負的第二象限，而另外兩個因數都是正的。