一個三角形的角 alpha 為 36 度、角 gamma 為 50 度，兩角之間的邊 b 為 78.2。求三角形面積，四捨五入到小數第一位。

Step-by-step solution

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   先求第三個角 —— 沒有它什麼都開始不了。 三角形內角和為 $180^\circ$：

   $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma=180^\circ-36^\circ-50^\circ=94^\circ$

   因為 $\beta$ 是鈍角，所以（對著 $\beta$ 的）邊 $b$ 是三角形最長的一邊 —— 這對後面的數字是個好用的現實檢查。

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   認出配置：已知邊夾在兩個已知角之間（ASA）。 標準標記法把邊 $b$ 放在角 $\beta$ 的對面，所以在 $\alpha$ 與 $\gamma$ 已知時，$b$ 就是夾邊。現在所有角與一個長度都確定了，三角形因此唯一固定，不必擔心模稜兩可的情形（那只在 SSA 的題目才會出現）。

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   由正弦定理導出面積公式。 面積是 $K=\tfrac12ac\sin\beta$，而正弦定理把兩個未知邊用 $b$ 表示：

   $a=\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta},\qquad c=\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}$

   代入後，

   $K=\frac12\cdot\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}\cdot\sin\beta=\frac{b^2\sin\alpha\sin\gamma}{2\sin\beta}$

   用這一條公式可以避免中途對邊長四捨五入，而分兩步做的解法通常就是在那裡掉了 $0.1$。

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   代入數值。 由 $b^2=78.2^2=6115.24$ 以及（取到小數第七位）

   $\sin36^\circ=0.5877853,\quad \sin50^\circ=0.7660444,\quad \sin94^\circ=0.9975641$

   分子與分母分別為

   $6115.24\times0.5877853\times0.7660444=2753.5068,\qquad 2\times0.9975641=1.9951281$

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   相除並四捨五入。

   $K=\frac{2753.5068}{1.9951281}=1380.1153\ldots\approx1380.1$

   注意小數點後的位數：未四捨五入的值是 $1380.115$，所以要往下捨成 $1380.1$。如果正弦值只帶四位小數，會算出 $1380.2$，四捨五入後的答案就錯了。

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   用完全不同的方法交叉驗證。 解出邊長得 $a=b\sin\alpha/\sin\beta=46.0770$、$c=b\sin\gamma/\sin\beta=60.0510$。於是 $K=\tfrac12ac\sin94^\circ=1380.1153$；而用 $s=\tfrac{a+b+c}{2}=92.1640$ 的海龍公式同樣得到 $1380.1153$。三條獨立路徑吻合到小數第四位，答案就定了。