求 arctan(0.003) 的值，答案以弧度與度表示。

Step-by-step solution

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   先說清楚題目在問什麼。 $\arctan(0.003)$ 是 $\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$ 內滿足 $\tan\theta=0.003$ 的角 $\theta$。反正切接受任何實數輸入，所以不必檢查定義域——這點和 arcsin 或 arccos 不同。

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   用小角度法則先預判答案。 泰勒級數是

   $\arctan t=t-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}-\cdots$

   當 $t=0.003$ 時，第二項是 $\tfrac{(0.003)^3}{3}=9\times10^{-9}$——完全可以忽略。所以 $\arctan(0.003)\approx0.003$ 弧度，準確到小數點後八位。

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   寫出弧度值。

   $\arctan(0.003)=0.0029999910\ \text{弧度}$

   和級數的預測完全一致：$0.003-0.000000009=0.002999991$ ✓。答案比輸入值略小一些，因為對很小的正數 $\theta$ 來說 $\tan\theta>\theta$。

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   換算成度。 乘上 $\dfrac{180}{\pi}=57.29578$：

   $0.002999991\times57.29578=0.171887^\circ\approx0.1719^\circ$

   這大約是 $10.3$ 角分——非常平緩的角度，常見於坡度與對準公差。

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   看看這在實務上為什麼重要。 正切值 $0.003$ 就是 $1000$ 分之 $3$ 的坡度，所以小角度法則等於在說：坡度很緩時，以弧度為單位的角度就等於坡度值。再乘上 $57.3$ 就直接得到度數，這正是測量與工程人員在幾度以內可以把坡度和角度當成同一回事的原因。

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   反向驗證。 $\tan(0.002999991)=0.00300000$ ✓，把輸入值還原到小數點後八位；而 $\tan(0.171887^\circ)=0.003000$ ✓。