解不等式 2cos x + √3 ≥ 0，其中 x 在區間 [−π, π] 上。

Step-by-step solution

1. 1

   先把餘弦孤立出來。 兩邊減去 $\sqrt3$，再除以正數 $2$，不等號方向不變：

   $\cos x\ge-\frac{\sqrt3}{2}.$

   由於 $-\tfrac{\sqrt3}{2}\approx-0.866$ 落在 $[-1,1]$ 之內，解集是一個貨真價實的子區間——既不是空集合，也不是全部。

2. 2

   找出邊界角。 方程式 $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ 的參考角是 $\tfrac{\pi}{6}$，而餘弦在第二、第三象限為負，所以在 $[-\pi,\pi]$ 上的解為

   $x=\frac{5\pi}{6}\quad\text{和}\quad x=-\frac{5\pi}{6}.$

   餘弦是偶函數，因此在對稱區間上，它的邊界角一定成 $\pm$ 對出現。

3. 3

   判斷該保留邊界的哪一側。 在 $[-\pi,\pi]$ 上，餘弦在正中央最大，$\cos0=1$；在兩端最小，$\cos(\pm\pi)=-1$。所以 $\cos x\ge-\tfrac{\sqrt3}{2}$ 成立的範圍，是兩個邊界角之間的中間帶，而不是外側：

   $-\frac{5\pi}{6}\le x\le\frac{5\pi}{6}.$

4. 4

   把端點納進來。 這個不等式不是嚴格的，而在 $x=\pm\tfrac{5\pi}{6}$ 處式子的值是 $2\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)+\sqrt3=0$，滿足 $\ge0$。因此兩個邊界角都屬於解集，區間是閉的。

5. 5

   在邊界兩側各驗一點。 取 $x=2.6180\approx\tfrac{5\pi}{6}$：$2\cos x+\sqrt3=0$ ✓（含在解集內）。取剛好落在外側的 $x=2.7$：$2\cos(2.7)+\sqrt3=2(-0.9040721)+1.7320508=-0.0760935<0$ ✓（不在解集內），由對稱性 $x=-2.7$ 的情形完全相同。取正中央的 $x=0$：$2+\sqrt3=3.73>0$ ✓。