化簡 sin(2x + π/2) + 5。

Step-by-step solution

1. 1

   先找出要用的恆等式。 平移四分之一圈可以把正弦變成餘弦：

   $\sin\!\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta$

   它由和角公式推得：$\sin\theta\cos\tfrac{\pi}{2}+\cos\theta\sin\tfrac{\pi}{2}=\sin\theta\cdot0+\cos\theta\cdot1=\cos\theta$。

2. 2

   正確地對應樣式。 這裡括號內的整個式子是 $2x+\tfrac{\pi}{2}$，所以 $\theta=2x$——是整個 $2x$，不是只有 $x$。代入後：

   $\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(2x)$

   常見的錯誤是寫成 $\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)$ 或 $2\cos x$。

3. 3

   常數項原封不動。 $+5$ 位在三角函數之外，沒有任何恆等式碰得到它：

   $\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+5=\cos(2x)+5$

4. 4

   從化簡後的形式讀出性質。 寫成 $\cos(2x)+5$ 之後，這個函數的振幅是 $1$，週期是 $\tfrac{2\pi}{2}=\pi$，中線是 $y=5$，值域是 $[4,6]$。這些性質在化簡之後遠比化簡之前容易看出來——而這正是做化簡的目的。

5. 5

   注意化簡也把相位平移一併消掉了。 原式在 $x$ 上有 $-\tfrac{\pi}{4}$ 的水平平移（因為 $2x+\tfrac{\pi}{2}=2\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$）；改寫成餘弦之後它被完全吸收，相位平移變成零。

6. 6

   用數值驗證。 在 $[-9,9]$ 中隨機取 $40$ 個 $x$ 值，比較 $\sin\!\left(2x+\tfrac{\pi}{2}\right)+5$ 與 $\cos(2x)+5$，每一點都吻合到機器精度 ✓。