函數 y = 3 csc x 的週期是多少？

Step-by-step solution

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   先想清楚週期在量什麼。 週期是使 $f(x+p) = f(x)$ 對定義域中每個 $x$ 都成立的最小正數 $p$——也就是圖形重複之前，一個完整週期的水平長度。

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   使用倒數的定義。 $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$。若對所有 $x$ 都有 $\sin(x + p) = \sin x$，兩邊取倒數就得到 $\csc(x+p) = \csc x$，在兩者都有定義的地方成立。所以餘割重複的時機和正弦一模一樣，週期也和正弦相同：$2\pi$。

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   確認沒有更小的週期。 週期有沒有可能是 $\pi$？取 $x = \tfrac{\pi}{2}$ 試試：$\csc\tfrac{\pi}{2} = 1$，而 $\csc\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\pi\bigr) = \csc\tfrac{3\pi}{2} = -1$。既然 $1 \neq -1$，$\pi$ 就不是週期。同樣的檢驗也排除了 $\tfrac{\pi}{2}$，所以 $2\pi$ 確實是最小的。

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   看看為什麼係數 3 無關緊要。 乘上 $3$ 只是把圖形垂直拉長，所以 $3\csc(x+2\pi) = 3\csc x$ 在完全相同的平移量下成立。只有乘在 $x$ 上的係數——像 $\csc(bx)$，週期為 $2\pi/|b|$——才會改變週期。這裡 $b = 1$，所以

   $\text{週期} = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$

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   寫出答案。 $y = 3\csc x$ 的週期是 $2\pi$。最後再順手檢查一次：$\csc$ 在 $\sin x = 0$ 的地方都有鉛直漸近線，也就是在 $x = 0, \pi, 2\pi, \ldots$——彼此相隔 $\pi$——但向上與向下分支的排列樣式要每 $2\pi$ 才重複一次。