解 cos t = −tan x 乘 tan x，求 x，並說明什麼時候有解。

Step-by-step solution

1. 1

   把重複的因式收起來。 右邊是同一個量自己乘自己：

   $\tan(x)\tan(x)=\tan^2(x)\quad\Rightarrow\quad \cos t=-\tan^2(x)$

2. 2

   用 $\tan^2$ 的值域判斷何時才可能有解。 實數的平方永遠不是負的，所以 $\tan^2(x)\ge 0$，因此 $-\tan^2(x)\le 0$。左邊必須配得上，於是得到可解條件

   $\cos t\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad t\in\left[\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$

   若 $\cos t>0$，就完全沒有實數 $x$——先檢查這一點，可以省下解一條不可能的方程式的力氣。

3. 3

   把平方孤立出來。

   $\tan^2(x)=-\cos t$

   在上述條件之下右邊 $\ge 0$，所以開平方是合法的。

4. 4

   兩個平方根都取。

   $\tan(x)=\pm\sqrt{-\cos t}$

   保留兩個正負號是必要的：捨掉負的分支就會丟掉一半的解族。

5. 5

   在正切的完整週期上取反函數。 正切的週期是 $\pi$（不是 $2\pi$），而 $\arctan$ 是奇函數，所以兩個分支合併成一條公式：

   $x=\pm\arctan\left(\sqrt{-\cos t}\right)+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

6. 6

   用兩個代表性的 $t$ 值檢查。 若 $\cos t=0$（例如 $t=\tfrac{\pi}{2}$），公式給出 $x=k\pi$，而確實 $-\tan^2(0)=0=\cos\tfrac{\pi}{2}$ ✓。若 $t=\pi$，則 $\cos t=-1$，所以 $\tan^2 x=1$、$x=\pm\tfrac{\pi}{4}+k\pi$；代入得 $-\tan^2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-1=\cos\pi$ ✓。