求 arccos(−√3/2) 的精確值。

Step-by-step solution

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   先回想 arccos 的值域——整題的關鍵就在這裡。 $\arccos x$ 傳回的是唯一滿足

   $\cos\theta=x\qquad\text{且}\qquad 0\le\theta\le\pi$

   的角 $\theta$。和值域為 $[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$ 的 $\arcsin$ 不同，$\arccos$ 永遠不會傳回負角。所以即使 $\cos(-\tfrac{\pi}{6})=+\tfrac{\sqrt3}{2}$，$-\tfrac{\pi}{6}$ 在這裡也不是合格的答案。

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   從絕對值找出參考角。 先撇開正負號，$\tfrac{\sqrt3}{2}$ 是一個特殊值：

   $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\ \Longrightarrow\ \text{參考角}=\frac{\pi}{6}\ (30^{\circ})$

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   把角放進正確的象限。 餘弦在 $(\tfrac{\pi}{2},\pi)$ 上為負——也就是第二象限——這是 arccos 值域裡唯一可能出現負值的區段。參考角為 $\tfrac{\pi}{6}$ 的第二象限角是

   $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

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   確認值域條件。 $\tfrac{5\pi}{6}=150^{\circ}$ 滿足 $0\le\tfrac{5\pi}{6}\le\pi$ ✓，所以它就是主值。

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   取回餘弦來驗證。

   $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$

   數值上 $\cos(2.617994)=-0.8660254$，而 $-\tfrac{\sqrt3}{2}=-0.8660254$ ✓。