已知 sin θ = 0.67，求角 θ 的度數與弧度。

Step-by-step solution

1. 1

   用反正弦把正弦解掉。

   $\theta=\sin^{-1}(0.67)$

   反正弦傳回的，是 $[-90^\circ,90^\circ]$ 內唯一正弦值等於給定值的角。

2. 2

   確認這個值在範圍內。 $|0.67|\le1$，所以存在實數角。

3. 3

   先把答案框住。 $\sin30^\circ=0.5$、$\sin45^\circ\approx0.7071$。由於 $0.5<0.67<0.7071$，這個角必定落在 $30^\circ$ 與 $45^\circ$ 之間，而且比較靠近 $45^\circ$。誰算出 $0.73$，就是計算機還停在弧度模式。

4. 4

   先求度數。

   $\theta=\sin^{-1}(0.67)=42.0671^\circ\approx42.07^\circ$

   落在預測的區間內，而且剛好在 $45^\circ$ 之下 ✓。

5. 5

   換算成弧度。

   $42.0671\times\frac{\pi}{180}=0.7342\ \text{弧度}$

   略小於 $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$，和角度略小於 $45^\circ$ 相符。

6. 6

   留意 0.67 不是特殊值，然後驗算。 它不像 $\tfrac12$、$\tfrac{\sqrt2}{2}$ 或 $\tfrac{\sqrt3}{2}$，$0.67$ 不對應任何標準三角形，所以沒有精確的封閉形式，確實非用計算機不可。反向檢查：$\sin(0.7342088)=0.670000$ ✓。