一個扇形的圓心角為 π/6 弧度、半徑為 4 m。求弧長 s 與扇形面積 A，四捨五入到小數點後三位。

Step-by-step solution

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   寫出兩個扇形公式。 對以弧度表示的圓心角 $\theta$，

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   它們其實就是整個圓周 $2\pi r$ 與整個面積 $\pi r^2$ 的 $\theta/(2\pi)$ 這個比例。

2. 2

   算弧長。

   $s=r\theta=4\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{m}$

3. 3

   算扇形面積。 先把半徑平方，再取一半：

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(4)^2\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12(16)\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4\pi}{3}\approx 4.189\ \text{m}^2$

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   寫出兩個四捨五入後的答案。

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{m},\qquad A\approx 4.189\ \text{m}^2}$

5. 5

   用關係式 A = ½rs 檢查。 把 $\theta$ 消掉得 $A=\tfrac12 rs$，而 $\tfrac12(4)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{4\pi}{3}$，正是上面求出的面積。

6. 6

   與 π/3、r = 2 ft 那一題比較。 那裡的弧長也是 $\tfrac{2\pi}{3}$，因為把 $\theta$ 減半、$r$ 加倍會讓 $r\theta$ 保持不變。但面積取決於 $r^2\theta$，所以 $r$ 加倍、$\theta$ 減半會讓它變成兩倍 — 從 $\tfrac{2\pi}{3}$ 變到 $\tfrac{4\pi}{3}$。弧長相等並不代表扇形面積相等。