求 sin 225° 的精確值。

Step-by-step solution

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   先定出角所在的象限。 由於 $180^\circ<225^\circ<270^\circ$，終邊落在第三象限。在那裡正弦和餘弦都是負的（只有正切是正的），所以答案必定帶負號。

2. 2

   求參考角。 對第三象限的角，參考角是量回負 $x$ 軸的那個角：

   $225^\circ-180^\circ=45^\circ$

   參考角是 $45^\circ$，就代表答案會是精確的特殊值之一，不必動用計算機。

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   回想這個特殊值。 由兩股為 $1,1$、斜邊為 $\sqrt2$ 的 $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ 三角形：

   $\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$

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   補上象限決定的正負號。 大小來自參考角，正負號來自象限：

   $\sin225^\circ=-\sin45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$

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   用單位圓座標交叉檢查。 $225^\circ$ 對應的點是 $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$，而正弦是 $y$ 座標——如同前面所得，是負的 ✓。數值上 $-\tfrac{\sqrt2}{2}=-0.70711$，直接計算 $\sin(225^\circ)$ 得到 $-0.7071068$ ✓，在小數點後七位一致。

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   順帶記下相關的值。 由同一個參考角可得 $\cos225^\circ=-\tfrac{\sqrt2}{2}$、$\tan225^\circ=+1$——兩個負號在相除時抵消，這正是正切在第三象限為正的原因。