求下列各角的參考角：210 度、135 度、5π/3 與 5π/4。

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清楚參考角是什麼。 $\theta$ 的參考角，是 $\theta$ 的終邊與 $x$ 軸所夾的銳角 —— 絕對不是與 $y$ 軸。它永遠落在 $(0^\circ,90^\circ)$，弧度制下是 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$。有了它，你就能從第一象限讀出 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 或 $\tan\theta$ 的大小，再補上正確的正負號。

2. 2

   記住每個象限對應的那一條規則。 對 $0$ 到一整圈之間的 $\theta$：

   象限	度數	弧度
   I	$\theta$	$\theta$
   II	$180^\circ-\theta$	$\pi-\theta$
   III	$\theta-180^\circ$	$\theta-\pi$
   IV	$360^\circ-\theta$	$2\pi-\theta$

   每一行不過是量回離它較近的那半條 $x$ 軸。如果 $\theta$ 是負的或超過一整圈，先加或減 $360^\circ$（$2\pi$）。

3. 3

   a. $210^\circ$。 因為 $180^\circ<210^\circ<270^\circ$，這個角在第三象限，所以減去 $180^\circ$：

   $210^\circ-180^\circ=30^\circ$

4. 4

   b. $135^\circ$。 因為 $90^\circ<135^\circ<180^\circ$，這個角在第二象限，所以用 $180^\circ$ 去減它：

   $180^\circ-135^\circ=45^\circ$

5. 5

   c. $\dfrac{5\pi}{3}$。 把邊界寫成同分母：$\pi=\tfrac{3\pi}{3}$、$\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{4.5\pi}{3}$、$2\pi=\tfrac{6\pi}{3}$。因為 $\tfrac{5\pi}{3}$ 落在 $\tfrac{4.5\pi}{3}$ 與 $\tfrac{6\pi}{3}$ 之間，它在第四象限：

   $2\pi-\frac{5\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}-\frac{5\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$

6. 6

   d. $\dfrac{5\pi}{4}$。 由 $\pi=\tfrac{4\pi}{4}$、$\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{6\pi}{4}$，可知 $\tfrac{5\pi}{4}$ 落在第三象限：

   $\frac{5\pi}{4}-\pi=\frac{5\pi}{4}-\frac{4\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$

7. 7

   用正弦值檢查每個答案。 參考角必須重現三角比的大小：$\sin 210^\circ=-\tfrac12$ 而 $\sin 30^\circ=\tfrac12$；$\sin 135^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$ 而 $\sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$；$\sin\tfrac{5\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ 而 $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$；$\sin\tfrac{5\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ 而 $\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$。每一組都只差正負號，正如所料。順帶注意 $210^\circ$ 與 $\tfrac{5\pi}{4}$ 同樣在第三象限，參考角卻不同 —— 象限決定的是用哪條規則，不是答案本身。