已知 cos x = √6 · sin²x，求 sin 2x。

Step-by-step solution

1. 1

   注意題目條件裡藏著的正負號資訊。 右邊的 $\sqrt6\sin^{2}x$ 是非負數乘上一個平方，所以立刻可得

   $\cos x\ge0.$

   這個在動手做代數之前就看出來的觀察，正是稍後能定下 $\cos x$ 正負號的依據——平方之後的版本會把它弄丟。

2. 2

   兩邊平方，化成單一變數的方程式。 平方得 $\cos^{2}x=6\sin^{4}x$，再代入 $u=\sin^{2}x$ 與 $\cos^{2}x=1-u$：

   $1-u=6u^{2}\;\Longrightarrow\;6u^{2}+u-1=0\;\Longrightarrow\;(3u-1)(2u+1)=0.$

   平方可能引進增根，所以第 1 步的正負號檢查必須留到最後再用一次。

3. 3

   選出可用的根。 兩根是 $u=\tfrac13$ 和 $u=-\tfrac12$；後者不可能，因為 $u=\sin^{2}x\ge0$。因此

   $\sin^{2}x=\frac13,\qquad \sin x=\pm\frac{\sqrt3}{3}.$

4. 4

   回到原方程式求 $\cos x$，不要用平方後的那一條。 把 $\sin^{2}x=\tfrac13$ 代回題目給的關係式：

   $\cos x=\sqrt6\cdot\frac13=\frac{\sqrt6}{3}\approx0.8165,$

   它是正的，和第 1 步一致——所以沒有混進增根。檢查：$\sin^{2}x+\cos^{2}x=\tfrac13+\tfrac69=\tfrac13+\tfrac23=1$ ✓。

5. 5

   套用二倍角公式。 由 $\sin x=\pm\tfrac{\sqrt3}{3}$ 與 $\cos x=+\tfrac{\sqrt6}{3}$：

   $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\left(\pm\frac{\sqrt3}{3}\right)\frac{\sqrt6}{3}=\pm\frac{2\sqrt{18}}{9}=\pm\frac{6\sqrt2}{9}=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\approx\pm0.9428.$

   兩個正負號都保留，因為 $\cos x>0$ 只排除了四個象限裡的兩個；$x$ 仍可能落在第一象限或第四象限，分別使 $\sin 2x$ 為正或為負。