解 sin 2x = √3/2，其中 x 在 0 到 2π 的區間內。

Step-by-step solution

1. 1

   追蹤區間對二倍角的影響。 若 $x$ 跑遍 $[0, 2\pi]$，則 $2x$ 跑遍 $[0, 4\pi]$——整整兩圈。這正是這條方程式的解會是 $\sin x = \tfrac{\sqrt3}{2}$ 的兩倍的原因；忘掉這一點，就是漏掉一半答案的標準方式。

2. 2

   先寫出二倍角的通解形式。 $\sin\theta = \tfrac{\sqrt3}{2}$ 的參考角是 $\tfrac{\pi}{3}$，解落在第一與第二象限：

   $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \qquad \text{或} \qquad 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

3. 3

   減半得到 x 的通解。 每一項都除以 $2$，週期 $2\pi$ 就變成 $\pi$：

   $x = \frac{\pi}{6} + \pi k \qquad \text{或} \qquad x = \frac{\pi}{3} + \pi k$

   週期減半成 $\pi$，正是兩族解在長度 $2\pi$ 的區間上會變成四個解的代數原因。

4. 4

   挑出落在 [0, 2π] 內的值。 第一族：$k=0$ 給 $\tfrac{\pi}{6}$，$k=1$ 給 $\tfrac{7\pi}{6}$，$k=2$ 給 $\tfrac{13\pi}{6} \approx 6.807 > 2\pi \approx 6.283$，出界。第二族：$k=0$ 給 $\tfrac{\pi}{3}$，$k=1$ 給 $\tfrac{4\pi}{3}$，$k=2$ 給 $\tfrac{7\pi}{3}$，也出界。負的 $k$ 會得到負角。

5. 5

   列出並驗證這四個解。

   $x = \frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{4\pi}{3}$

   各乘以二得到 $2x = \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{2\pi}{3},\ \tfrac{7\pi}{3},\ \tfrac{8\pi}{3}$，它們的 $\sin$ 都等於 $\tfrac{\sqrt3}{2} \approx 0.8660254$，準到小數點後十五位。另外注意 $\left(\tfrac{\pi}{6}, \tfrac{\pi}{3}\right)$ 與 $\left(\tfrac{7\pi}{6}, \tfrac{4\pi}{3}\right)$ 這兩對，分別對稱於 $\tfrac{\pi}{4}$ 與 $\tfrac{5\pi}{4}$，也就是 $\sin 2x$ 的兩個峰值位置。