解 sin 2x · cos 2x = −1/2，求所有實數 x。

Step-by-step solution

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   認出這個乘積是某個正弦的一半。 乘積 $\sin\theta\cos\theta$ 從來不直接解——永遠是用 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ 把它折成單一的正弦。這裡 $\theta = 2x$，所以 $2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x)$。

2. 2

   兩邊乘以 2 以套用恆等式。

   $2\sin(2x)\cos(2x) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \sin(4x) = -1$

   現在方程式只剩一個三角函數、一個引數，正是所有通解公式期待的形式。

3. 3

   解 sin(4x) = −1。 正弦只在每個週期的谷底達到最小值 $-1$，也就是角度為 $\tfrac{3\pi}{2}$ 再加上整圈。因為 $-1$ 是極值，所以只有單一一族解，而不是平常的兩族：

   $4x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

4. 4

   除以 4 把 x 孤立出來。 每一項都要除，包括週期：

   $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{2}k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   週期從 $2\pi$ 縮成 $\tfrac{\pi}{2}$，所以在任何長度為 $2\pi$ 的區間上有四個解，而不是一個。

5. 5

   檢查基準解。 取 $x = \tfrac{3\pi}{8}$ 得 $2x = \tfrac{3\pi}{4}$，而 $\sin\tfrac{3\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}$、$\cos\tfrac{3\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$。兩者相乘是 $-\tfrac{2}{4} = -\tfrac12$，恰好等於右邊。