求 arccos(1/√3) 的值，結果同時以弧度與度表示。

Step-by-step solution

1. 1

   先把記號改寫成方程式。 要求 $\arccos(1/\sqrt3)$，就是要找主值範圍 $[0,\pi]$ 內唯一滿足

   $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$

   的角 $\theta$。正是這個範圍限制，讓答案只有一個數，而不是無窮多個。

2. 2

   先拿特殊角來比對輸入值。 應該要認得的餘弦值有

   $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.8660,\quad \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\approx0.7071,\quad \cos60^\circ=\frac12$

   我們的輸入是 $1/\sqrt3\approx0.57735$，和上面每一個都對不上，所以不會出現 $\pi$ 的精確倍數。

3. 3

   用上下界把這個角框出來。 由於 $0.5<0.57735<0.7071$，而餘弦在 $[0,\pi]$ 上是遞減的，這個角必定滿足

   $45^\circ<\theta<60^\circ$

   這組上下界，就是檢驗計算機吐出的數字最省事的辦法。

4. 4

   進行數值計算。 取到小數點後四位，

   $\theta=\arccos(0.577350\ldots)=0.9553\text{ 弧度}$

   再用 $180^\circ/\pi$ 換算：

   $\theta=0.9553166\times\frac{180}{\pi}=54.7356^\circ$

   確實落在 $45^\circ$–$60^\circ$ 這組上下界之內。

5. 5

   看看這個角究竟從哪裡來。 $54.7356^\circ$ 是立方體的空間對角線與稜之間的夾角，而它的兩倍 $109.47^\circ$ 正是正四面體的鍵角——所以這個反餘弦值在結晶學和化學裡不斷出現。

6. 6

   兩種單位都把答案寫出來。

   $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\approx0.9553\text{ 弧度}\approx54.74^\circ$