y = 2cos(3x − 2π) 的週期是多少？

Step-by-step solution

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   先找出三個參數。 和一般式 $y = A\cos(bx - c)$ 比對：振幅是 $A = 2$，$x$ 的係數是 $b = 3$，相位項是 $c = 2\pi$。這三者當中只有一個會決定週期。

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   使用週期公式。 當餘弦的引數前進 $2\pi$ 時，它就走完一個完整週期。這裡的引數是 $3x - 2\pi$，而 $x$ 前進 $2\pi/3$ 時它剛好前進 $2\pi$：

   $3(x + p) - 2\pi = (3x - 2\pi) + 2\pi \;\Longrightarrow\; 3p = 2\pi \;\Longrightarrow\; p = \frac{2\pi}{3}$

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   看看為什麼振幅無關。 因數 $2$ 只在垂直方向縮放輸出。既然 $2\cos\theta$ 重複的時機和 $\cos\theta$ 完全一樣，水平方向的週期長度就不受影響——波更高，不等於波更長。

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   再看為什麼相位平移也無關。 在括號內減去 $2\pi$，會把圖形往右滑 $2\pi/3$ 個單位，但把週期函數整個滑動，永遠不會改變它重複的頻率。事實上 $2\pi$ 剛好是餘弦的一個完整週期，所以這裡 $\cos(3x - 2\pi) = \cos 3x$，圖形甚至看不出有平移。

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   寫出答案並檢查。 週期是 $\dfrac{2\pi}{3}$。直接驗證：$y(0) = 2\cos(-2\pi) = 2$，而 $y\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = 2\cos(2\pi - 2\pi) = 2\cos 0 = 2$ ✓；中點 $y\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 2\cos(\pi - 2\pi) = -2$ 則顯示中間確實完整擺盪了一次。像 $3\pi$ 或 $6\pi$ 這類誘答選項，來自把 $b$ 拿去乘而不是拿去除。