求 sin 20° 的值，準確到小數點後四位。

Step-by-step solution

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   先檢查這個角是不是特殊角。 初級課程裡有精確值的角是 $0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$ 以及它們的鏡射角。$20^\circ$ 都不是，所以沒有乾淨的根式可引用——這是真的需要計算機，而不是漏掉了什麼捷徑。

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   計算之前先框住答案。 正弦在 $[0^\circ,90^\circ]$ 上遞增，而 $\sin0^\circ=0$、$\sin30^\circ=0.5$。由於 $0^\circ<20^\circ<30^\circ$，這個值必定嚴格落在 $0$ 與 $0.5$ 之間，而且離 $0.5$ 比離 $0$ 近，因為 $20$ 已經走完到 $30$ 的三分之二。

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   用小角度近似把估計收緊。 以弧度計 $20^\circ=\tfrac{\pi}{9}=0.349066$，而對小的 $\theta$，$\sin\theta\approx\theta-\tfrac{\theta^3}{6}=0.349066-0.007090=0.341976$。所以可以預期大約是 $0.342$。

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   求到小數點後四位。 把計算機切到度模式：

   $\sin20^\circ=0.3420201\ldots\approx0.3420$

   這和級數估計在小數點後四位一致 ✓，也落在先前預測的 $(0,0.5)$ 區間內 ✓。

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   提防那個經典的模式錯誤。 在弧度模式下，同樣的按鍵會傳回 $\sin(20\ \text{弧度})=0.9129$——完全不同的數。第 2 步的上下界立刻就能抓到它，這正是先估一下值得花那幾秒的原因。

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   說明為什麼沒有精確的根式形式。 $20^\circ$ 是 $60^\circ$ 的三分之一，而把可作圖的角三等分，一般無法只靠平方根辦到：$\sin20^\circ$ 是 $8t^3-6t+\sqrt3=0$ 的根（由 $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ 配上 $\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$，再整式乘以 $-2$ 得到），而對應的恆等式 $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ 配上 $\cos60^\circ=\tfrac12$，則給出 $\cos20^\circ$ 所滿足的三次式 $8t^3-6t-1=0$——這一條的係數是有理數，而且在有理數上不可約，正是它排除了任何平方根表示式。兩邊都驗算：$\cos20^\circ=0.9396926$ 代入得 $8(0.9396926)^3-6(0.9396926)-1=0.000000$ ✓，$\sin20^\circ=0.3420201$ 代入得 $8(0.3420201)^3-6(0.3420201)+\sqrt3=0.000000$ ✓。