判斷函數 y = sin x / x 與 y = cos x / x 各是偶函數、奇函數，還是兩者皆非。

Step-by-step solution

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   先寫出判別法。 若對定義域中每個 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，函數就是偶函數；若 $f(-x)=-f(x)$，就是奇函數。這裡兩個函數的定義域都是 $x\neq 0$，關於原點對稱，所以這個判別法用得上。

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   回想各個組成部分的奇偶性。

   $\sin(-x)=-\sin x\ (\text{奇}),\qquad \cos(-x)=\cos x\ (\text{偶}),\qquad (-x)=-x\ (\text{奇}).$

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   檢驗第一個函數。

   $f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f(x),$

   所以 $\dfrac{\sin x}{x}$ 是偶函數。兩個負號互相抵消——奇除以奇等於偶。

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   檢驗第二個函數。

   $g(-x)=\frac{\cos(-x)}{-x}=\frac{\cos x}{-x}=-\frac{\cos x}{x}=-g(x),$

   所以 $\dfrac{\cos x}{x}$ 是奇函數。這裡只有分母變號——偶除以奇等於奇。

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   用數值確認。 取 $x=\pm 2$：$\dfrac{\sin 2}{2}=0.454649$，而 $\dfrac{\sin(-2)}{-2}=0.454649$，兩者相等，正是偶函數該有的樣子。另一方面 $\dfrac{\cos 2}{2}=-0.208073$，而 $\dfrac{\cos(-2)}{-2}=+0.208073$，兩者相反，正是奇函數該有的樣子。

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   記下一般的奇偶規則。 對商而言：偶／偶 = 偶，奇／奇 = 偶，偶／奇 = 奇，奇／偶 = 奇。它們的行為和正負號相乘一模一樣，所以可以現推，不必硬背。