求 tan 7° 的值，準確到小數點後四位。

Step-by-step solution

1. 1

   把角換成弧度。 乘上 $\tfrac{\pi}{180}$：

   $7^\circ=0.1221730\ \text{弧度}$

2. 2

   用小角度的行為預判答案。 對以弧度計的小 $x$，$\tan x\approx x$，所以答案應該略高於 $0.1222$。修正項是三次的：

   $\tan x\approx x+\frac{x^3}{3}$

3. 3

   套用級數。 取 $x=0.1221730$，$x^3=0.00182357$，於是

   $\tan x\approx 0.1221730+0.0006079=0.1227809$

   已經準到小數點後五位，因為下一項的量級是 $\tfrac{2}{15}$ 乘上 $x^5\approx 3\times 10^{-5}$。

4. 4

   用商的定義交叉檢查。 $\tan\theta=\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$，而 $\sin 7^\circ\approx 0.1218693$、$\cos 7^\circ\approx 0.9925462$：

   $\frac{0.1218693}{0.9925462}\approx 0.1227846$

5. 5

   四捨五入並確認。 準確到小數點後四位，

   $\tan(7^\circ)\approx 0.1228$

   直接計算得到 $0.12278456$ $\checkmark$。注意它比 $\sin 7^\circ$ 大，這是必然的，因為除以 $\cos 7^\circ<1$ 會把值放大。