證明恆等式 1/cot²A + 1/(1 + tan²A) = 1/(1 − sin²A) − 1/csc²A。

Step-by-step solution

1. 1

   先定策略：把兩邊各自化成正弦與餘弦。 兩邊誰也不明顯比誰簡單，所以與其把一邊硬變成另一邊，不如各自獨立化簡，再證明兩個結果一致。這裡每一塊不是倒數恆等式，就是畢氏恆等式。

2. 2

   化簡左邊。 由於 $\cot A=1/\tan A$，第一項是

   $\frac{1}{\cot^{2}A}=\tan^{2}A.$

   至於第二項，畢氏恆等式 $1+\tan^{2}A=\sec^{2}A$ 給出

   $\frac{1}{1+\tan^{2}A}=\frac{1}{\sec^{2}A}=\cos^{2}A.$

   所以左邊是 $\tan^{2}A+\cos^{2}A$。

3. 3

   化簡右邊。 由 $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ 得 $1-\sin^{2}A=\cos^{2}A$，所以

   $\frac{1}{1-\sin^{2}A}=\frac{1}{\cos^{2}A}=\sec^{2}A,$

   而且既然 $\csc A=1/\sin A$，

   $\frac{1}{\csc^{2}A}=\sin^{2}A.$

   所以右邊是 $\sec^{2}A-\sin^{2}A$。

4. 4

   把兩種形式接起來。 對右邊套用 $\sec^{2}A=1+\tan^{2}A$：

   $\sec^{2}A-\sin^{2}A=1+\tan^{2}A-\sin^{2}A=\tan^{2}A+\bigl(1-\sin^{2}A\bigr)=\tan^{2}A+\cos^{2}A.$

   這和左邊完全一致，所以恆等式成立。

5. 5

   說明成立範圍，並代一個值檢查。 這條恆等式要求 $\cot A$、$\tan A$ 與 $\csc A$ 都有定義，且 $\cot A\ne0$，也就是 $A$ 不能是 $\pi/2$ 的倍數。取 $A=\pi/3$：左邊是 $\tan^{2}=3$ 加上 $\cos^{2}=1/4$，得 $3.25$；右邊是 $\sec^{2}=4$ 減去 $\sin^{2}=3/4$，得 $3.25$ ✓。