求 tan(4.2π) 的值，答案要寫成精確值。

Step-by-step solution

1. 1

   用正切的週期，是 $\pi$ 而不是 $2\pi$。 和正弦、餘弦不同，正切每半圈就重複一次：

   $\tan(\theta+k\pi)=\tan\theta\quad\text{對任意整數 }k$

   這裡改用 $2\pi$ 一樣行得通，只是會留下更多要化簡的部分。

2. 2

   把 $\pi$ 的整數倍拆出來。 寫成 $4.2=4+0.2$：

   $\tan(4.2\pi)=\tan(4\pi+0.2\pi)=\tan(0.2\pi)$

   因為 $4\pi$ 剛好是四個完整週期。

3. 3

   把剩下的角換成熟悉的形式。

   $0.2\pi=\frac{\pi}{5}=36^\circ$

   於是問題化成求 $\tan 36^\circ$。

4. 4

   引用正五邊形這個角的精確值。 $36^\circ$ 和正五邊形以及黃金比例有關，它的正切有封閉的根式形式：

   $\tan\frac{\pi}{5}=\sqrt{5-2\sqrt5}$

5. 5

   數值驗證。 $\sqrt5\approx 2.236068$，所以 $5-2\sqrt5\approx 0.527864$，開平方後得 $\approx 0.726543$。直接計算得到 $\tan(4.2\pi)\approx 0.7265425$ $\checkmark$。這個值是正的，和 $\tfrac{\pi}{5}$ 落在第一象限相符。